23. Метод получения псевдослучайных чисел с равномерным законом распределения. Методы середины квадрата и середины произведения. [1/1]

1) Метод середины квадратов

Пусть имеется 2n разрядное число < 1, т.е. x_i=0, a₁ a₂ … a_2n

Возведем его в квадрат: x_i²=0, b₁ b₂ … b_4n

Возьмём 2n средних цифр:

x_i+1=0, b_n+1 b_n+2 … b_3n

Общая формула: x_i+1=Д[10^-2n Ц[10³ⁿ x_i²]],

где Д[.], Ц[.] – дробная и целая части числа

x₀ – должно быть задано.

Пример.

x₀ =0,2152; (x₀)² =0,04631104

x₁ =0,6311; (x₁)² =0,39828721

x₂ =0,8287 и т.д.

Недостатки:

1) наличие корреляции между числами;

2) в некоторых случаях случайность может вообще отсутствовать;

3) вырождение последовательности.

Пример 2:

x_i =0,4500; (x₀)² =0,20250000; x₁ =0,2500; (x₁)² =0,06250000; x₂ =0,2500;

(x₂)² =0,06250000; x₃ =0,2500.

2) Метод середины произведения

Является модификацией метода середины квадратов.

x_{i -1}, x_i – перемножаются.

Пусть x_{i -1}=0, a₁ a₂ … a_2n

x_i=0, b₁ b₂ … b_2n

x_{i -1}*x_i =0, c₁ c₂ … c_4n

x_i+1=0, c_n+1 c_n+2 … c_3n

Общая формула: x_i+1=Д[10^-2n Ц[10³ⁿ x_{i -1}*x_i]]

x₀ и x₁ – заданы.

Метод также имеет тенденцию к вырождению, но качество псевдослучайных чисел лучше, чем у чисел, полученных по 1-му методу.

41

24. Конгруэнтные процедуры генерации псч. Мультипликативный и смешанный методы. [1/1]

Конгруэнтные процедуры представляют собой арифметические операции, основаны на фундаментальном понятии конгруэнтности.

Два целых числа α и β конгруэнтны (сравнимы) по модулю m, где m – целое число, тогда и только тогда, когда существует такое целое число k, что

α-β=km, т.е. разность (α-β) делится на m и, если числа α и β имеют одинаковые остатки от деления на абсолютную величину m.

Пример: 1984≡4(mod10) ; 1984-4=198*10, ост(1984/10)=ост(4/10)

Конгруэнтные процедуры являются чисто детерминированными.

Формула x_i+1=Ф(x_i), i=0,1,2,… имеет вид X_i+1=λX_i+μ(mod M),

Xi, λ, μ, M – неотрицательные целые числа.

X₁=λX₀+μ(mod M)

X₂=λX₁+μ(mod M)=λ²X₀+(λ+1)μ(mod M)

X₃=λX₂+μ(mod M)= λ³X₀+( λ²⁺λ+1)μ(mod M)= λ³X₀+( λ³-1)μ/(λ-1)(mod M) ……

X_i= λⁱX₀+( λⁱ-1)μ/(λ-1)(mod M) (1)

Если заданы начальное значение X₀, λ, μ, то выражение (1) однозначно определяет последовательность целых чисел {X_i} составлено из остатков от деления на

M членов последовательности {λⁱX₀+( λⁱ-1)μ/(λ-1)(mod M)}. Таким образом, для любого i≥1 выполняется условие X_i<M. {X_i}={X_i/M}, X_i принадлежит (0,1) – последовательность рациональных чисел. Конгруэнтные процедуры могут быть реализованы:

1) Смешанный метод.

Задаёт последовательность неотрицательных целых чисел {X_i} не превосходящих M по формуле X_i+1=λX_i+μ(mod M) μ≠0.

Возможность выбора дополнительного параметра позволяет уменьшить корреляцию получаемых чисел.

В библиотеке стандартных программ для вычисления последовательности псевдослучайных чисел основаны на конгруэнтных процедурах.

2) Мультипликативный метод.

Для машинной реализации удобно версия, когда M=p^g, где p – число цифр в системе счисления, принятой в ЭВМ; g – число бит в машинном слове.

Вычисления остатка от деления на M сводится к выделению g младших разрядов делимого, а преобразования целого числа X_i в рациональную дробь x_i осуществляется подстановкой слева от X_i двоичной или десятичной запятой.

Алгоритм построения последовательности для двоичной последовательности M=2^g:

1) выбрать в качестве X₀ произвольное нечетное число;

2) вычислить коэффициент λ=8t ± 3, где t – любое целое положительное число;

3) найти произведение λX₀, содержащее не более 2g значащих разрядов;

4) взять g младших разрядов в качестве первого члена последовательности X₁, а остальные отбросить;

5) определить дробь x₁= X₁/2^gиз интервала (0,1);

6) Присвоить X₀=X₁;

7) вернуться к пункту 3.

Пример. Получить числа последовательности для g=4.

1) X₀₁₀=7; X₀=0111

2) t=1, λ=8t ± 3, λ=11 или λ=5; пусть λ₁₀=5, λ=0101

3) а) λX₀=(0101)(0111)=00100011; X₁=0011; x₁=3/16=0,1875

б) λX₁=(0101)(0011)=00001111; X₂=1111; x₂=15/16=0,9375

в) λX₂=(0101)(1111)=01001011; X₃=1011; x₃=11/16=0,6875

г) λX₃=(0101)(1011)=00110111; X₄=0111; x₄=7/16=0,4375 42