3 0. Моделирование дискретных и непрерывных случайных величин с заданным законом распределения. [1/2]

Дискретная случайная величина принимает значение

с вероятностями , составляющими дифференциальное распределение вероятностей .

Интегральная функция распределения: .

Для получения дискретных случайных величин используют метод обратной функции. Искомое случайная величина ,где -функция обратная . -случайная величина равномерного распределения на (0,1).

Алгоритм вычисления:

- если , то , иначе

- если , то , иначе

…………………………………………………

- если , то , иначе…

Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией распределения. , где -плотность вероятности.

Для нахождения непрерывных случайных величин можно также использовать метод обратной функции. Чтобы получить число из последовательности

{ }, которая имеет функцию плотности , необходимо решить относительно уравнение :

Пример: Получить случайные числа с показательным (экспоненциальным) законом распределения : , ;

- имеет равномерное распределение в интервале (0;1), следовательно .

49

П ример: Получить случайные числа равномерно распределенных на интервале (a,b).

; .

Недостатки:

Этот способ получения случайных чисел с заданным законом распределения редко используется в силу двух недостатков:

1)интеграл (*) не всегда берется в конечном виде, приходиться прибегать к численным методам, что увеличивает затраты машинного времени.

2)даже если интеграл (*) берется в конечном виде, получается действие логарифмирования, извлечение квадратного корня, что также увеличивает затраты машинного времени.

50

3 1. Приближенные способы преобразования случайных чисел. [1/2]

1. Универсальные способы, которые пригодны для получения чисел с любым законом распределения.

2. Неуниверсальные способы, которые пригодны для получения чисел с конкретным законом распределения.

Неуниверсальный способ:

Пример. Получить случайные числа, имеющие закон распределения Пуассона: . Воспользуемся т. Пуассона:

Если p – вероятность наступления события A, то вероятность наступления m событий в N независимых испытаниях при , , , асимптотически равно p(m).

Выберем N испытаний такими, чтобы . Будем проводить серии из N независимых испытаний, в каждом из которых события A наступает с вероятностью p. Будем подсчитывать число случаев y_i фактического наступления события A серии с номером j. Числа y_i будут следовать закону распределения Пуассона. N выбирают таким, чтобы p=0.1÷0.2.

Схема моделирующего алгоритма:

NO – вспомогательная переменная

51

У ниверсальный способ основан на кусочной аппроксимации функции плотности.

П усть требуется получить последовательность случайных чисел {y_j}, с заданной функцией плотности , значения которой лежат в интервале (a, b).

Представим функцию плотности в виде кусочно-постоянной функции. Для этого разобьем интервал (а, b) на m интервалов, на каждом из которых , тогда случайную величину можно представить .

- случайная величина, равномерно распределенная в интервале (a_k, a_k+1).

Целесообразно разбить интервал (a, b) на интервалы таким образом, чтобы вероятность попадания величины в интервал (a_k, a_k+1) не зависело от номера интервала. Тогда:

Алгоритм машинной реализации:

1) Генерируются случайное число x_i из интервала (0, 1)

2) С помощью этого числа случайным образом выбирается интервал (a_k, a_k+1).

3) Генерируется x_i+1 и домножается на коэффициент масштабирования (a_k+1 - a_k).

4) Вычисляется число y_j=a_k+x_i+1(a_k+1 - a_k).

Достоинства: небольшие затраты машинного времени, так как операция масштабирования выполняется 1 раз перед моделированием.

52