16 Дисперсия случайной величины и ее свойства. Среднее квадратичное отклонение.
Кроме положения центра группирования случайной величины, о котором несет информацию математическое ожидание, важно знать разброс или рассеяние значений случайной величины относительно центра группирования.
Для этого рассмотрим
разность
,
которую называют центрированной
случайной величиной или отклонением
от МО, ее МО всегда равно нулю.
Поэтому для характеристики разброса возможных значений случайной величины пользуются не средним значением отклонения, а средним значением квадрата отклонения случайной величины от МО.
Дисперсией (рассеянием) случайной величины X называют математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины:
или
.
Из определения дисперсии вытекают формулы для вычисления ее:
а) для случайной дискретной величины
,
или
;
б) для случайной непрерывной величины
,
или
.
Дисперсия позволяет оценивать кучность (разброс) значений случайной величины около ее математического ожидания и является неслучайной величиной.
Свойства дисперсии:
а) дисперсия всегда положительна и имеет размерность квадрата размерности случайной величины;
б) дисперсия постоянной
величины равна нулю, т.е.
.
в) постоянный
множитель при постоянной величине можно
выносить за знак дисперсии в квадрате
;
г) величина дисперсии не зависит от начала отсчета.
Частный случай дисперсии.
Пусть случайная
величина X
принимает частные значения
с вероятностью
и
с вероятностью
.
Тогда
.
Средне - квадратичное отклонение.
Так как размерность дисперсии равна размерности квадрата случайной величины, что вызывает неудобства ее использования, то вводят характеристику с размерностью случайной величины. Такой числовой характеристикой является средне - квадратичное отклонение случайной величины, которое определяется как квадратный корень из дисперсии:
.
17 Закон равномерной плотности.
К наиболее распространенным в природе законам распределения относят следующие: закон равномерной плотности, нормальный закон распределения, закон Пуассона и экспоненциальное распределение. Рассмотрим их более подробно.
Случайную непрерывную величину X называют распределенной равномерно на интервале (a, b), если ее плотность распределения на этом интервале постоянна, а вне этого интервала равна нулю.
Пусть случайная величина X может принимать частные значения от a до b, причем все частные значения равновероятны (Рис.7). Требуется определить выражение для плотности вероятности f(x).
Рисунок 7 График плотности распределения случайной величины X
Для определения выражение для плотности вероятности f(x) воспользуемся свойством плотности распределения
.
Поскольку по определению f(x) есть величина постоянная, то ее можно вынести за знак интеграла, т.е.
.
Откуда
.
Зная выражение для плотности вероятности f(x), можно найти функцию распределения как
.
График функции равномерного распределения в соответствии с этим выражением примет вид, изображенный на рис.8.
Рисунок 8 График функции равномерного распределения
При известном выражении для плотности равномерного распределения нетрудно вывести выражения, позволяющие вычислить математическое ожидание, дисперсию и средне - квадратичное отклонение для этого закона
;
;
.