Ответы на вопросы.
1 Способ непосредственного подсчета вероятностей событий.
Данный способ применяется в том случае, если опыт сводится к схеме случаев. Тогда вероятность события A определяется как отношение числа благоприятных случаев этому событию к общему числу равновозможных и несовместных исходов опыта, составляющих полную группу событий, т.е.
где m – число исходов, благоприятных событию;
n – число всех равновозможных и несовместных исходов опыта.
Пример 1: В ящике имеются 4 транзистора, из них 1 транзистор неисправен. Какова вероятность того, что взятый наугад транзистор будет исправным?
Решение.
A – событие того, что в результате опыта взятый наугад транзистор будет исправным.
P(A) - вероятность события A.
Так как опыт сводится к схеме случаев, число исходов конечно и m=3 , а n=4, то
Как понимать этот результат?
Только при многократном повторении опыта в 75% случаев будет браться исправный транзистор.
Пример 2: В условиях примера 1 наугад берутся два транзистора. Требуется определить вероятность того что, что оба будут исправны.
Обозначим. B – событие соответствующее тому, что оба взятых транзистора будут исправны. P (B) - вероятность события B.
Для подсчета вероятности события обозначим транзисторы в ящике: Н – неисправный транзистор; И(1), И(2), И(3) - исправные транзисторы, и составим таблицу размещения их из 4 элементов по 2 элемента.
Таблица 1
1тр. |
Н |
Н |
Н |
И(1) |
И(1) |
И(1) |
И(2) |
И(2) |
И(2) |
И(3) |
И(3) |
И(3) |
2тр. |
И(1) |
И(2) |
И(3) |
Н |
И(2) |
И(3) |
Н |
И(1) |
И(3) |
Н |
И(1) |
И(2) |
Из таблицы легко определить числа: m=6, n=12. Откуда вероятность события B будет равна P(B)=m/n=6/12=0,5.
Вместе с этим исходы, показанные в таблице, можно толковать как размещения или как сочетания из 4 элементов по 2 т.е.
Через размещения вероятность события B можно определить следующим образом:
С помощью сочетаний вероятность события B определяется как
Классическим определением вероятности пользуются лишь в том случае, когда можно произвести непосредственный подсчет тех и других случаев, т.е. когда число исходов конечно. Однако на практике встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно. Кроме того, часто невозможно представить исходы испытания в виде равновозможных и несовместных событий.
2 Статистический способ определения вероятностей событий.
Сущность способа заключается в том, что проводится серия опытов, в которых фиксируется число опытов m с появлением события A и общее число опытов n и определяется их отношение m/n, называемое частотой (относительной частотой). Эта относительная частота принимается за неизвестную вероятность. Она обозначается как p*(A)=m/n.
Многочисленные наблюдения показывают, что при проведении серий из большого числа опытов частота события обладает определенной устойчивостью. Такая устойчивость частоты события является проявлением ее общей закономерности. Свойство устойчивости частоты события играет очень важную роль в познании действительного мира и позволяет изучать случайные явления.
Статистической вероятностью события называют число, около которого имеет тенденцию группироваться частота события при многократном повторении опыта в данных условиях.
Частота события есть величина случайная. При увеличении числа опытов ее случайный характер утрачивается и вследствие близости ее к вероятности события частота принимается в качестве приближенной оценки вероятности события. Способ не требует, чтобы опыт сводился к схеме случаев.
Пример 3: Стрелок из 5 серий по 50 выстрелов в каждой имел попаданий в «десятку» соответственно 48, 47, 47, 48, 49 раз.
Какова частота попаданий в «десятку»?
Решение.
Чтобы найти статистическую вероятность, достаточно найти среднюю арифметическую частоту, т.е.
Знание вероятности наступления события позволяет предсказать с определенной точностью его частоту при проведении большого числа испытаний, что очень важно при изучении тех или иных проблем.