- •Ответы на вопросы.
- •1 Способ непосредственного подсчета вероятностей событий.
- •2 Статистический способ определения вероятностей событий.
- •3 Геометрический способ определения вероятностей событий.
- •4 Теорема сложения вероятностей для совместимых событий.
- •5 Теорема сложения вероятностей для несовместимых событий.
- •6 Зависимые и независимые события. Условные вероятности событий.
- •7 Теорема умножения вероятностей.
- •8 Формула полной вероятности.
- •9 Теорема гипотез (Формулы Бейеса).
- •10 Повторение испытаний. Формулы Бернулли.
- •11 Понятие случайной величины. Виды законов распределения.
- •12 Функция распределения случайной величины и ее свойства.
- •13 Плотность распределения случайной величины и ее свойства.
- •14 Вероятность попадания случайной величины на заданный участок.
- •15 Математическое ожидание случайной величины и ее свойства.
- •16 Дисперсия случайной величины и ее свойства. Среднее квадратичное отклонение.
- •17 Закон равномерной плотности.
- •18 Нормальный закон распределения.
- •19 Экспоненциальный закон распределения.
- •20 Вероятность попадания случайной величины на заданный участок.
- •21 Теорема Чебышева.
- •22 Теорема Бернулли.
- •23 Элементы математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. Статистическое распределение выборки.
- •24 Эмпирическая функция распределения, ее построение по опытным данным.
- •25 Гистограмма частот и относительных частот.
- •26 Статистические оценки параметров распределения. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки.
- •27 Интервальные оценки параметров распределения. Доверительный интервал.
- •28 Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения при известном среднем квадратичном отклонении.
- •29 Интервальная оценка среднеквадратического отклонения нормального распределения.
- •30 Функция распределения системы случайных величин и ее свойства.
- •31 Плотность распределения системы случайных величин и ее свойства.
- •32 Законы распределения отдельных случайных величин, входящих в систему.
- •33 Условные законы распределения случайных величин.
- •34 Числовые характеристики системы двух дискретных случайных величин.
- •35 Числовые характеристики системы двух непрерывных случайных величин.
- •36 Условное математическое ожидание. Уравнение линии регрессии.
- •37 Корреляционный момент. Коэффициент корреляции.
- •38 Теорема сложения математических ожиданий.
- •39 Теорема сложения дисперсий.
- •40 Математическое ожидание линейной функции случайных аргументов.
- •44 Закон распределения суммы двух случайных величин.
- •45 Композиция одномерных нормальных законов.
- •46 Понятие о центральной предельной теореме.
- •47 Понятие о случайной функции.
- •48 Закон распределения случайной функции.
- •49 Математическое ожидание и дисперсия случайной функции.
- •50 Корреляционная функция случайного процесса и ее свойства. Нормированная корреляционная функция.
- •51 Определение характеристик случайной функции по опытным данным.
- •52 Сложение случайных функций.
- •53 Сложение случайной функции со случайной величиной.
- •54 Умножение случайной функции на неслучайную функцию.
- •55 Стационарная случайная функция и свойства ее характеристик.
44 Закон распределения суммы двух случайных величин.
При изучении тех или иных явлений приходится сталкиваться со случайными величинами, которые являются результатом суммирования некоторого числа случайных величин. Задача нахождения закона распределения суммы двух и более случайных величин может быть решена следующим образом.
Постановка задачи.
Пусть имеется система случайных величин (X,Y) с известной совместной плотностью распределения f(x,y). Требуется определить закон распределения случайной величины .
Для решения задачи обозначим функцию распределения случайной величины Z, как и построим на плоскости x0y прямую x+ y=z, которая делит плоскость на две области (рис.4.1).
Рисунок 4.1 - График случайной величины
Заштрихованная область на рисунке является областью D.
Вероятность попадания случайной точки z в область D есть функция распределения случайной величины Z, которая по определению равна
.
Дифференцируя это выражение по переменной z, получим формулу плотности g(z) суммы двух случайных величин X и Y.
. (4.12)
Аналогично можно получить и формулу плотности g(z), равную
, (4.13)
которая равносильна формуле (4.12) и может применяться вместо нее.
Если случайные величины X и Y независимы, то закон распределения суммы X+Y называется композицией законов распределения. В этом случае функции в формулах (4.12), (4.13) могут быть представлены в виде:
; .
Тогда плотность распределения g(z) будет окончательно равна:
; . (4.14)
45 Композиция одномерных нормальных законов.
Найти плотность распределения композиции нормально распределенных случайных величин X и Y с параметрами , если
и .
Так как по определению плотность распределения композиции равна , то
. Откуда
, где , . (4.16)
Следовательно, в результате композиции двух нормальных распределений суммарный закон получается также нормальным.
Рисунок 4.2 – Композиция двух нормальных распределений
При композиции произвольного числа нормальных распределений суммарный закон также является нормальным с параметрами:
; .
Это свойство часто называют устойчивостью нормального закона.
46 Понятие о центральной предельной теореме.
Если случайные величины взаимно независимы и имеют один и тот же закон распределения с математическим ожиданием и дисперсией , то при неограниченном увеличении n закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному закону:
с параметрами и .
Теорема Ляпунова верна и для суммы случайных величин с неодинаковыми законами распределения, у которых дисперсии примерно одного порядка.
47 Понятие о случайной функции.
Случайной функцией X(t) называют функцию, которая в результате опыта может принять тот или иной вид, причем заранее неизвестно какой именно.
СФ может быть представлена, как сумма элементарных СФ:
x(t)=
Дисперсия СФ-это неслучайная функция, которая для каждого значения аргумента t равна дисперсии соотв. Значений.
Дисперсия :