10 Повторение испытаний. Формулы Бернулли.

На практике часто приходится иметь дело с сериями независимых опытов, в каждом из которых некоторое событие A может появиться или нет. При этом вероятность появления его в каждом опыте известна и она не меняется от опыта к опыту.

Примеры: появление изделий с браком в процессе производства; поступление на вход приемника серии импульсов, отраженных целью. Появление каждого импульса можно рассматривать как опыт, в результате которого импульс либо проходит на выход приемника, либо не проходит из-за помех.

В общем случае задача состоит в том, чтобы определить вероятность появления события A ровно m раз в n опытах и не появления n-m раз. Условимся считать, что вероятность события A в каждом опыте одна и та же и равна p. Следовательно, вероятность не наступления события A в каждом опыте постоянна и равна q=1-p.

Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что в n опытах событие A наступит m раз и не наступит n-m раз равна ( на основании теоремы умножения вероятностей независимых событий).

Так как не требуется, чтобы событие A повторилось ровно m раз в определенной последовательности, то таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний из n элементов по m,т.е. . Поскольку эти сложные события несовместны и их вероятности одинаковы, то искомая вероятность будет равна

, где .

Полученное выражение называют формулой Бернулли.

Пример 3: Пусть n=2: .

Так как , то можно определить вероятность появления события не менее m раз по следующему выражению

, или , или .

В частном случае, когда m=1 получают формулу вероятности появления события хотя бы один раз .

При большом числе опытов n пользоваться приведенными выше формулами неудобно, поэтому используют формулу Лапласа – Гаусса

, где D=n p q.

11 Понятие случайной величины. Виды законов распределения.

В зависимости от цели того или иного испытания часто имеют дело с величинами, которые могут принимать те или иные значения, причем заранее неизвестно, какие именно. Такие величины называют случайными.

Случайной называется величина, которая в результате опыта может принять одно и только одно возможное значение, заранее неизвестное и зависящее от случайных обстоятельств.

Примеры случайных величин: число вышедших из строя элементов после 1000 часов работы сложного устройства; величина напряжения в сети в данный момент времени; число покупателей в магазине в момент закрытия.

Различают два основных типа случайных величин: дискретные и непрерывные.

К случайным дискретным величинам относят величины, частные значения которых можно пересчитать, т. е. их число конечно.

У случайных непрерывных величин нельзя пересчитать их частные значения, так как их число бесконечно (они непрерывно заполняют определенный интервал).

Случайные величины обозначают прописными буквами X, Y, Z, а их частные значения – строчными буквами x, y, z.

Случайное событие можно рассматривать как частный случай случайной величины.

Например: событие A – попадание пули в мишень, событие - непопадание пули в мишень. Если случайная величина X принимает частное значение x=1, то появляется событие A, а если случайная величина X принимает частное значение x=0, то появляется событие .

Всякое соотношение, устанавливающее связь между частным значением случайной величины и вероятностью ее появления, называют законом распределения.

Если случайная величина X принимает частные значения с вероятностью , то закон распределения случайной величины запишется в виде соотношений

…………….

…………….

.

К основным математическим формам законов распределения случайной величины относят:

ряд распределения,

многоугольник распределения,

функцию распределения,

плотность распределения.

Ряд распределения применяется для случайных дискретных величин и представляет собой таблицу, в первой строке которой указываются частные значения случайной величины, а во второй – вероятности их появления (таблица 1).

Таблица 1

x				…		…
P(X=x)				…		…

Эта таблица позволяет найти ответы на следующие вопросы.

Какие частные значения может принимать случайная величина?

Какие частные значения случайной величины будут появляться чаще, а какие реже?

По этой таблице можно определить вероятность появления случайной величины в заданных пределах , т.е.

.

Многоугольник распределения представляет собой график, на котором по оси абсцисс откладываются частные значения случайной величины, а по оси ординат – вероятности их появления.

Рисунок 1 Многоугольник распределения

График многоугольника распределения решает те же вопросы, что и ряд распределения.

Ряд и многоугольник распределения не являются универсальными характеристиками случайной величины. Их нельзя построить для случайной непрерывной величины. Поэтому необходима универсальная характеристика, пригодная не только для дискретных, но и для непрерывных величин. Такой характеристикой является функция распределения (интегральная функция) случайной величины, которая обозначается F(x).