34 Числовые характеристики системы двух дискретных случайных величин.

В качестве числовых характеристик системы случайных величин принимают начальные и центральные моменты системы.

Начальные моменты системы.

Начальным моментом порядка k, s системы (X, Y) называют математическое ожидание произведения .

.

Для системы случайных дискретных величин

,

где - вероятность того, что система (X, Y) примет значение , а суммирование распространяется по всем возможным значениям случайных величин X и Y.

На практике чаще всего применяются начальные моменты первого порядка:

.

Они являются математическими ожиданиями случайных величин X и Y, входящих в систему и характеризуют положение системы, представляя собой координаты средней точки (центра рассеивания) системы на плоскости.

На основе определения начальных моментов можно записать формулы для математических ожиданий M(X) и M(Y) случайных величин X и Y, входящих в систему, в случае:

а) дискретных величин

,

Пример 5. Система двух случайных дискретных величин задана таблицей распределения:

	X1=3	X2=6	X3=9
Y1=4	0,1	0,2	0,3
Y2=8	0,2	0,1	0,1

Найти математическое ожидание случайных величин X и Y, входящих в систему.

Решение.

;

.

Вывод: центр группирования этой системы случайных величин находится в точке с координатами .

Центральные моменты системы.

Центральным моментом системы (X, Y) порядка k, s называют математическое ожидание произведения :

для дискретных величин и

Среди центральных моментов большое практическое значение имеют вторые центральные моменты системы:

и .

Эти моменты являются дисперсиями случайных величин X и Y, входящих в систему, и характеризуют рассеивание случайных точек в направлении осей 0x и 0y.

Формулы дисперсий случайных величин X и Y, входящих в систему,

а) для дискретных величин:

; ,

Для характеристики системы случайных величин важную роль играет второй смешанный центральный момент

,

т.е. математическое ожидание произведения центрированных величин.

Эта характеристика называется корреляционным моментом или ковариацией:

.

Корреляционный момент кроме рассеяния случайных величин X и Y характеризует еще и связь их между собой.

Корреляционный момент вычисляется по формуле:

а) для системы дискретных величин

;

При решении многих задач, в которых требуется определить корреляционный момент, удобнее пользоваться следующей формулой:

Она вытекает из определения корреляционного момента.

35 Числовые характеристики системы двух непрерывных случайных величин.

В качестве числовых характеристик системы случайных величин принимают начальные и центральные моменты системы.

Начальные моменты системы.

Начальным моментом порядка k, s системы (X, Y) называют математическое ожидание произведения .

.

Для системы случайных непрерывных величин

,

где f(x, y) – плотность распределения системы (X, Y).

На основе определения начальных моментов можно записать формулы для математических ожиданий M(X) и M(Y) случайных величин X и Y, входящих в систему, в случае:

б) непрерывных величин

.

Центральные моменты системы.

Центральным моментом системы (X, Y) порядка k, s называют математическое ожидание произведения :

для непрерывных величин.

Формулы дисперсий случайных величин X и Y, входящих в систему,

б) для непрерывных величин:

; .

Для характеристики системы случайных величин важную роль играет второй смешанный центральный момент

,

т.е. математическое ожидание произведения центрированных величин.

Эта характеристика называется корреляционным моментом или ковариацией:

.

Корреляционный момент кроме рассеяния случайных величин X и Y характеризует еще и связь их между собой.

Корреляционный момент вычисляется по формуле:

б) для системы непрерывных величин

.