30 Функция распределения системы случайных величин и ее свойства.

Функцией распределения системы двух случайных величин (X, Y) называется функция двух аргументов F(X, Y), равная вероятности совместного выполнения двух неравенств: X<x, Y<y, где x и y – действительные числа:

.

Функция распределения системы двух случайных величин геометрически представляет собой вероятность попадания случайной точки (X, Y) в бесконечный квадрант с вершиной (x, y), расположенный левее и ниже этой вершины (рис. 3.3).

Рисунок 3.3 Геометрическая интерпретация функции распределения системы двух случайных величин

Геометрическая интерпретация функции распределения двумерной

случайной величины позволяет наглядно иллюстрировать ее свойства:

а) если один или оба аргумента стремятся к минусу бесконечности, то функция распределения стремится к нулю, т. е.

;

б) если один из аргументов стремится к плюсу бесконечности, то функция распределения системы стремится к функции распределения одной случайной величины, соответствующей другому аргументу, т.е.

;

в) если оба аргумента стремятся к плюсу бесконечности, то функция распределения системы стремится к единице

;

г) функция распределения является неубывающей функцией по каждому аргументу, т.е.

если , то ;

если , то .

31 Плотность распределения системы случайных величин и ее свойства.

Закон распределения системы двух случайных дискретных величин может быть задан либо в виде графика, либо в виде таблицы с двумя входами, либо функцией распределения.

Для задания закона распределения системы двух случайных непрерывных величин на практике пользуются не функцией распределения, а плотностью распределения, так как она более удобна при вычислениях.

Здесь и далее будем предполагать, что функция распределения имеет всюду непрерывную частную производную.

Плотностью распределения (дифференциальной функцией распределения) f(x, y) системы двух случайных величин (X, Y) называется вторая смешанная частная производная от функции распределения:

.

Иначе говоря, плотность распределения системы двух случайных величин (X, Y) представляет собой предел отношения вероятности попадания случайной точки (X, Y) в элементарный прямоугольник к площади этого прямоугольника, когда оба размера его стремятся к нулю (рис. 3.5).

.

Рисунок 3.5 Вероятность попадания случайной точки (X, Y) в элементарный прямоугольник

Геометрически функция f(x, y) представляет собой некоторую поверхность. Зная функцию f(x, y), можно найти интегральную функцию распределения, которая будет равна

.

Плотность распределения системы двух случайных величин обладает следующими свойствами:

а) плотность распределения f(x, y) есть функция неотрицательная

,

б) двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от плотности распределения системы двух случайных величин равен единице, т.е.

.

Геометрически первое свойство означает, что поверхность распределения располагается выше плоскости x0y, а второе – что, объем тела, ограниченного поверхностью распределения и плоскостью x0y, равен единице.