2. Деление с остатком. Теорема Безу

Деление с остатком

Определение. Пусть   и   — многочлены,  . Будем говорить, что   поделен на   с остатком, если   представлен в виде  , где   и   — многочлены, причем  .

Полином   называется остатком от деления   на  ,   — неполным частным.

Пример.  .

.

Теорема. (о делении с остатком). Пусть   и   — полиномы над полем  ,  . Тогда существуют единственные многочлены   и   над полем   такие, что   и  .

Доказательство. Существование.

Пусть  . Положим  .

.

Предположим, что теорема верна не для любого полинома   (  фиксируем). Среди всех многочленов  , для которых теорема неверна, выберем многочлен наименьшей степени и обозначим его  :

Пусть  . Положим

Коэффициент при   в многочлене   равен  . Следовательно,  . Значит, для многочлена   теорема верна. Существуют такие   и  , что  . Тогда

Получили противоречие с тем предположением, что есть многочлены, для которых теорема неверна.

Единственность. Предположим, что

1)  . Значит,  ,

2)  .

Получили противоречие. Этот случай невозможен.

Теорема Безу

Теорема. Остаток от деления многочлена   на многочлен   равен  .

Доказательство. Степень остатка меньше 1, следовательно, остаток — константа. Пусть   — остаток.

Это равенство верно при любых значениях  . Положим  :

Задачи.

1. Проверьте, выполняются ли условия:

1)   делится на  ;

2)   делится на  .

2. Докажите, что

 делится на  .

3. Найдите значения параметров   и  , при которых

  делится на  .

4. Найдите все значения параметров   и  , такие, что остаток от деления

 на   равен  .

5. Найдите все натуральные  , такие, что

 делится на  .

6. Известно, что остаток от деления полинома   на   равен 2, от деления   на   равен 1. Найдите остаток от деления   на  .

7. Найдите остаток от деления многочлена   на  .

8. Полином   с целыми коэффициентами принимает значение 5 в пяти различных целых точках. Может ли он иметь целый корень?

Неприводимый многочлен

[править]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Неприводимый многочлен — многочлен, неразложимый на нетривиальные (неконстантные) многочлены. Неприводимые многочлены являются неприводимыми элементами кольца многочленов.

[Править]Определение

Неприводимый многочлен над полем   ― многочлен   от   переменных над полем   является простым элементом кольца  , то есть, непредставим в виде произведения  , где   и   ― многочлены с коэффициентами из  , отличные от констант.

Многочлен называется абсолютно неприводимым, если он неприводим над алгебраическим замыканием поля коэффициентов. Абсолютно неприводимые многочлены одной переменной ― это многочлены 1-й степени и только они. В случае нескольких переменных существуют абсолютно неприводимые многочлены сколь угодно высокой степени — например, любой многочлен вида

абсолютно неприводим.

[Править]Свойства

• Кольцо многочленов   факториально: любой многочлен разлагается в произведение неприводимых многочленов, причем это разложение определено однозначно с точностью до постоянных множителей.

• Над полем вещественных чисел любой неприводимый многочлен одной переменной имеет степень 1 или 2, причем многочлен 2-й степени неприводим тогда и только тогда, когда он имеет отрицательный дискриминант.

• Над любым полем алгебраических чисел существуют неприводимый многочлен сколь угодно высокой степени; например, многочлен  , где   и   ― некоторое простое число, неприводим в силу критерия Эйзенштейна.

• Если   — конечное поле из   элементов, а   — натуральное число, то существует хотя бы один неприводимый многочлен степени n из  .

• Предположим   ― целозамкнутое кольцо с полем частных   (например   и  ) и   ― многочлен одной переменной со старшим коэффициентом 1, тогда   в  , причем   и   имеют старший коэффициент 1, то  .

• Редукционный критерий неприводимости. Пусть задан гомоморфизм областей целостности  . Если степень многочлена   совпадает со степенью многочлена   и  неприводим над полем частных области  , то не существует разложения  , где   и отличны от константы.

  • Например, многочлен   со старшим коэффициентом   прост в   (и, следовательно, неприводим в  ), если прост многочлен  , полученный из   редукцией коэффициентов по модулю простого числа.