9. Объем тела (клеточное тело, кубируемое тело, мера). Объем цилиндрического тела, объем тела с заданными площадями сечений, объем тела вращения.
Произвольное
ограничимое множество точек
будем
называть телом.
Клеточным телом называется объединение конечного числа непересекающихся параллелепипедов.
К=
; Пi=
{(x;
y;
z)
; ui
; ci
≤ y
≤ di
; fi
≤ z
≤ qi},
i=1,
(границы могут входить, не входить,
входить частично).
Определение:
мерой
m(Пi)=(bi-ai)(di-ci)(qi-ti)=V(Пi),
если К=
,
m(К)=
=V(К).
Для
меры клетки в пространстве
выполняются свойства меры на плоскости
(
).
Кубируемое
тело-тело
A
называется измеримое по Жордану
(кубируемое), если для
>0
такие клетки a,
Q,
q<A<Q
и
m(Q)-m(a)<
.
Если A
кубируемо,
то его мерой (объемом) называют такое
число m
(A)(V(A),
что
клетка q,
Q:
q<A<Q
выполняет
неравенство m(a)≤m(A)≤m(Q).
Теорема: если A кубируема, то существует единственное число m(A), причем m(A)=sup m(a)=inf m(Q).
Все свойства меры m(A) выполняются.
Цилиндрическое тело и его объем.
Определение: цилиндрическим телом называется геометрическое место точек, содержащихся в теле снизу и сверху (в плоскости xoz; z=0) и (в плоскости z=h; h>0), огранич. квадр. фигуры Д
а
сбоку цилиндрической поверхности
(прямые //
z,
проходящие через Г=
Д)
Утверждение:
цилиндрическое тело кубируемо и его
объем V=S(Д)h,
S(Д)
– площадь Д.
Так как основание Д
– квадрируемо, то
клетки q
и Q
такие,
что q<A<Q
и
m(Q)-m(q)<
тогда построим тело в пространстве с
основанием q
и Q
ограниченное сбоку цилиндрической
поверхностью //
oz
через
их границы. Обозначим
и
(суммы
параллелепипедов), тогда V(
)=S(q)h
;
V
(
)
=S(Q)h
; V(
)<
V
(
)
и V
(
)
- V(
)<
Объем тела с заданными площадями поперечных сечений
Пусть
А
заключено
между плоскостями
ox;
x=a=b.
Предполагается, что фигура в сечении тела А плоскостью x=const (Gx)
квадрируема и ее площадь S(Gx)=S(x), является непрерывной функцией
переменной или параметра x.
Теорема:
в
предыдущем условии
V(A)=
10. Длина кривой (определение спрямляемой кривой, длины кривой, теорема о длине, формулы длины для разных случаев задания кривой).
Определение
спрямляемой кривой и длины кривой.
Пусть на плоскости задана кривая AB.
Разобьём эту кривую точками A
= M0,
M1,
M2,
…, Mi-1,
Mi,
…, Mn
= B
на n
частей и впишем в кривую ломаную M0
M1
M2
…Mi-1
Mi
… Mn,
соединяющую эти точки. Длина L
лом
этой ломанной равна сумме длин
прямолинейных звеньев, соединяющих
точки разбиения:
.
Устремим
теперь количество n
точек разбиения к бесконечности так,
чтобы максимальная длина звена
стремилась
к нулю. Если при этом существует конечный
предел последовательности длин ломаных
L
лом, не
зависящий от способа разбиения кривой,
то кривая называется спрямляемой, а
значение этого предела называется
длиной кривой AB.
Длина
кривой в декартовых координатах.
Пусть теперь кривая AB
- график функции кривой y
=
f(x),
имеющей непрерывную производную
,
.
Тогда точка M
i
имеет координаты (xi,
f(xi)),
звено Mi-1M
i
имеет длину
.
Функция y
=
f(x)
на отрезке [xi-1xi]
удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа,
поэтому существует точка
такая,
что
.
С учётом этого длина звена Mi-1Mi
равна
,
длина всей ломаной -
.
Последняя сумма - интегральная сумма
для интеграла
,
и, вследствие непрерывности подынтегральной
функции, стремится к нему при
.
Итак, длина кривой, заданной декартовым
уравнением y
=
f(x),
,
определяется формулой
.
Кривая
задана параметрически
.
Заменим в
переменную
x
на переменную t.
Так как
,
то
.
Итак, длина кривой, заданной параметрически,
определяется формулой
.
Кривая
задана в полярных координатах.
Случай, когда кривая задаётся уравнением
,
,
легко сводится к предыдущему. Так как
,
то, рассматривая полярный угол
как
параметр, получим
,
поэтому
