Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Готовые билеты.docx
Скачиваний:
1
Добавлен:
26.09.2019
Размер:
398.2 Кб
Скачать

24. Дифференциалы высших порядков (определение, формы записи, неинвариантность 2-го и высших дифференциалов.

Пусть z=f ( ), тогда dz= , dx+ dy.

Определение: второй диффер. функции (или дифф. 2-го порядка) – это дифференциал от 1-го дифференциала: df : = d(df) вычисленный при условии: 1) df рассм. как функция независимых переменных x и y (т.е. dx и dy=const). 2) при вычислении дифференциала от функций и приращения dx и dy берутся такими же как при вычислении df.

= d(df)=d( dx+ dy)=dx d( )+ dy ·d( =dx( ( dx+ )( dy( ( dx+ ( dy=(*),

если вторые смешанные производные непрерывны, то = (теорема Шварца)

= (*) +2 + .

Аналогично определению дифференциала 2-го порядка для функции n-переменных.

f(x)=f( , = d ( , = d (

Пусть f – функция 2-ух переменных z=f ( );

= +3 +3 dx + .

u= f ( ); =?

= + + +2 dxdy+2 dxdz+2 dxdz.

Определение: символ , z= f ( называется оператором дифференциала по переменной .

Утверждение: Дифференциал функции n- переменных k-го порядка, при k≥2 не обладает свойством инвариантности (т.е. его вид в общем случае меняется если не являются независимыми переменными).

df= dx , имеет один и тот же вид в обоих случаях: 1) - независимая переменная. 2) = ( , k=2 , = функции

=d( )= d ( d + d(d

- добавок.

Добавок=0, если - линейная функция =0.

25. Формула Тейлора для функции многих переменных.

Теорема: Если функция n-переменных f(x)=f( ….. ) имеет в некоторой окрестности точки ( ….. ) и все частные производные до (k+1)-го порядка включительно, и они непрерывны в самой точке то в любой точке этой окрестности справедливо равенство: (Формула Тейлора) f(x)=f( + + + , + ) –многочлен Тейлора k-го порядка для функции f в точке остаточный член.

f(x)= + .

= , остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа.

Замечание: многочлен Тейлора обладает свойством, что его значения и значения всех его частных производных до k-го порядка включительно в точке совпадает со значением функции f и ее соответствующих производных в этой точке.

Следствие 1: При k=0 из формулы Тейлора получится формула конечных приращений Лагранжа.

Следствие 2: В условиях теоремы остаточный член можно записать в виде: =0 ( , где

– расстояние между точками и x, т.е. = . Формула Тейлора вида: f(x)= +0 ( называют формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

26. Теорема о неявной функции.

Теорема (о системе функций заданных неявно): Пусть задана система функций:

(1)

Решение такой системы (1) относительно переменных ; = ( , i=1, (2). Называется совокупностью неявно заданных функций опред. системой (1), т.е. , ( , … ( )=0 в (или Д ⊂ ).

x= , y= F(x, y)=0, F= .

Теорема: Пусть выполняются следующие условия: 1) i (x, y), x , y , i=1, непр. дифф. в некоторой окрест. точки . 2) i =0, i=1, . 3) Якобиан = 0.

П= (x, y) : , , j=1 , i=1 , в котором система уравнений (1) определяется единственной совокупностью неявных (2). Причем функции (x) дифф. и производные их могут быть найдены дифф. системы уравнений (1).

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]