Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Готовые билеты.docx
Скачиваний:
58
Добавлен:
26.09.2019
Размер:
398.2 Кб
Скачать

43. Ряд Тейлора. Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора. Ряды Маклорена для элементарных функций.

f(x) x R; f(x) R

Определение: пусть f(x) определена в окрестности точки и имеет в этой окрестности производные всех порядков.

Тогда степенной ряд вида = + + + … + + … называется рядом Тейлора для функции f(x) в точке .

При =0 ряд Тейлора называется рядом Маклорена.

Если f(x) аналитично в точке , т.е. представимо в некоторой окрестности точки сходящимся к ней степенным рядом, т.е. f(x)= k={ x <p, p>0 }; то по предыдущему утверждению = .

f(x)= , x

Утверждение: Степенной ряд в круге сходимости (интервале) сходимости является рядом Тейлора своей суммы.

Замечание: Если функция имеет производные всех порядков некоторой окрестности точки это не означает, что ряд Тейлора сходится в функции f(x)= (проверить вокруг точки 0).

(0) =0 ряд Тейлора 0, f(x) 0.

Вспомним разложение функции f(x) по формуле Тейлора в точке

f(x)= + - остаточный член.

Утверждение: функция f(x) представлена рядом Тейлора с д. в точке , т.е. f(x)= , т.е. f(x)=S(x) = , x)= = =0.

Теорема (достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора): Если f(x)- бесконечно дифф. и все ее производные ограничены в совокупности в некоторой окрестности точки : C C, n=1, 2 … и x , то ряд Тейлора, построенный для f(x) в точке сходится в этой окрестности к f(x), т.е. f(x) представима рядом Тейлора. f(x)= .

Доказательство: напишем формулу Тейлора f(x)= + , напишем в форме Лагранжа:

= , , где все производные ограничены .

=0, т.к. =0. Тогда по утверждению ряд Тейлора сходится к f(x)в .

Замечание: =0. , = , = = =

=0< схема по Даламберу, по необходимости призн. = 0.

Ряды Маклорена для 5 известных функций

  1. , x (-

  2. , x (-

  3. , x (-

  4. , x (-

  5. , x (-

44. Ортогональная система функций. Ряды Фурье. Тригонометрический ряд Фурье, формулы для коэффициентов. (Ряды Фурье для четных и нечетных функций).

Пусть дана система функций на [ a, b ]; { (x) }- непрерывна, называется ортогональной на [ a, b ], если (x)dx=0, k, n; k n.

Система функций называется ортонормированная, если она ортогональна и (x)dx=1; n.

Утверждение: Система функций { , , , … , , } является ортогональной системой (тригонометрической) на [ -l; l ].

Доказательство: dx= ·2 dx= ǀ =0.

dx=0 и т.д.

Частный случай: l= ортогональная тригонометрическая система { , , n=1, 2 …} на

[- ].

Ряды Фурье по ортогональной тригонометрической системе

Пусть f(x) абсолютно интегрируема на [ -l; l ], т.е. dx < .

Определение: говорят, что f(x) абсолютно интегрируема на [ -l; l ] разложена на этом отрезке, сходящийся тригонометрический ряд, если такие последовательности числовые { }, n=0, 1 …; и

{ } n=1, 2 …; что тригонометрический ряд + + (*) сходится и его сумма = f(x), т.е. f(x)= + + для x [ -l; l ].

Теорема: Если ряд (*) сходится к функции f(x) равномерно на [ -l; l ], т.е. f(x), то коэффициенты ряда находятся по формулам: (**)

Доказательство: функция { , , ортогональные тригонометрические системы функций на [ -l; l ], непрерывны и ограничены. Пусть ряд (*) сходится равномерно на [ -l; l ], т.к. ряд состоит из непрерывных функций ⇒ сумма ряда = f(x) непрерывна на [ -l; l ], т.е. интегрируемая функция.

Умножим обе части на x : f(x) = + + - сходится равномерно ⇒ почленно интегрируем + dx+ dx 0.

dx. . = .

Определение: ряд (*) с коэффициентами { , n=0, 1…} и { , n=0, 1…} вычисляемый по формулам (**) называется рядом Фурье, построенным по функции f(x) и ортогональной тригонометрической системе { , , , n=1, 2…}на [ -l; l ].

Замечание: Если функция f абсолютно интегрирована на [ -l; l ], то коэффициенты , - конечны.

Следствие: всякий равномерно сходящийся тригонометрический ряд по указанной системе функций является рядом Фурье своей суммы. Если f(x) абсолютно интегрирована, то по (**) , находятся, и можно построить тригонометрический ряд (*): f(x)

Частный случай разложения функций в ряд Фурье

1.Если f(x) четная, то разложение в ряд Фурье имеет вид f(x)= + . ;

, n=1, 2…, т.к. =0; n. dx= .

2. Если f(x) нечетная, то ряд Фурье имеет вид: f(x)= , где

3.Если f(x) задана на отрезке [0; l] ее можно продолжить на отрезок [ -l; 0 ] четным или нечетным образом (для нечетного продолжения при f(0) точку 0 исключают) и раскладывают функцию в ряд Фурье на [ -l; l ] по косинусам или синусам соответственно.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]