- •1.Определенный интеграл Римана. Основные определения. Необходимое условие интегрируемости. Суммы Дарбу и их свойства. Условие интегрируемости.
- •2. Критерий интегрируемости функций. Классы интегрируемых функций. Свойства интеграла, связанные с операциями над функциями.
- •3. Свойства интеграла, связанные с отрезками интегрирования и неравенствами. Оценки интегралов.
- •4. Теоремы о среднем.
- •5. Непрерывность и дифференцируемость интеграла по верхнему пределу.
- •6. Теорема (формула) Ньютона-Лейбница.
- •7. Теорема о замене переменной в определенном интеграле, формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
- •8. Площадь фигуры на плоскости (клеточные фигуры, квадрируемые фигуры, мера). Площадь криволинейной трапеции, криволинейного сектора, площадь фигуры с параметрически заданной границей.
- •9. Объем тела (клеточное тело, кубируемое тело, мера). Объем цилиндрического тела, объем тела с заданными площадями сечений, объем тела вращения.
- •10. Длина кривой (определение спрямляемой кривой, длины кривой, теорема о длине, формулы длины для разных случаев задания кривой).
- •11. Площадь поверхности вращения (определение, теорема). Теорема Гульдена. Физические приложения определенных интегралов.
- •12. Несобственные интегралы первого рода (определение; свойства, включая интегрирование по частям и формулу Ньютона-Лейбница.
- •13. Несобственные интегралы второго рода (определение; свойства, включая интегрирование по частям и формулу Ньютона-Лейбница.
- •14. Условие сходимости несобственных интегралов. Несобственные интегралы от неотрицательных функций – признаки сходимости.
- •15. Признаки Дирихле и Абеля сходимости несобственных интегралов.
- •16. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов (определение, теорема).
- •17. Метрическое пространство (определение, сходящиеся и фундаментальные последовательности, полное пространство, открытые и замкнутые множества, компакт, пространство ).
- •18. Функции многих переменных. Предел функции в точке, предел по множеству, по направлению.
- •19. Непрерывность функции многих переменных в точке. Свойства непрерывных функций. Непрерывность функции на множестве, свойства функций, непрерывных на компакте.
- •20. Частные производные, дифференцируемость, дифференциал. Теоремы о необходимых и достаточных условиях дифференцируемости функции многих переменных.
- •21. Дифференцируемость сложной функции. Инвариантность формы 1-го дифференциала. Правила дифференцирования.
- •22. Геометрический смысл 1-го дифференциала. Касательные плоскость и нормаль. Производная по направлению. Градиент.
- •23. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных.
- •24. Дифференциалы высших порядков (определение, формы записи, неинвариантность 2-го и высших дифференциалов.
- •25. Формула Тейлора для функции многих переменных.
- •26. Теорема о неявной функции.
- •27. Дифференцируемое отображение. Якобиан и его свойства. Системы функций, заданных неявно – теорема. Якобиан и зависимость – независимость функций.
- •28. Локальный экстремум функции многих переменных. Необходимые условия экстремума.
- •29. Достаточные условия экстремума функции многих переменных. Проверка экстремума для функции двух переменных.
- •30. Условный экстремум: прямой метод, метод Лагранжа.
- •31. Числовые ряды (понятие ряда, сходимость, частичная сумма, сумма). Необходимый признак сходимости ряда. Свойства сходящихся рядов. Критерий Коши.
- •32. Ряды с неотрицательными членами. Признаки сходимости: через частичные суммы, интегральный признак.
- •33. Ряды с неотрицательными членами. Признаки сравнения и его следствия.
- •34. Признаки Даламбера и Коши сходимости ряда.
- •35. Знакочередующийся ряд. Признак сходимости Лейбница, следствие.
- •36. Абсолютная и условная сходимость ряда (определение, свойства абсолютно-сходящихся рядов). Примеры исследования сходимости ряда. Признаки Абеля и Дирихле.
- •37. Функциональные последовательности и ряды: сходимость, равномерная сходимость, связь утверждений о функциональных последовательностях и рядах.
- •38. Критерий Коши равномерной сходимости, признак Вейерштрасса.
- •39. Признак Абеля и Дирихле равномерной сходимости ряда. Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов – непрерывность предельной функции и суммы ряда.
- •41. Степенные ряды. Теорема Абеля, радиус сходимости, круг (интервал) сходимости, формула Коши-Адамара.
- •42. Формула Даламбера для радиуса сходимости степенного ряда. Теорема о почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда. Аналитическая функция, единственность коэффициентов.
- •43. Ряд Тейлора. Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора. Ряды Маклорена для элементарных функций.
- •44. Ортогональная система функций. Ряды Фурье. Тригонометрический ряд Фурье, формулы для коэффициентов. (Ряды Фурье для четных и нечетных функций).
- •45. Лемма Римана, ядро Дирихле, формула Дирихле для частичных сумм. Признак Дини сходимости ряда Фурье.
- •46. Признак Дирихле сходимости ряда Фурье. Простейшие условия равномерной сходимости ряда Фурье. Почленное дифференцирование и интегрирование ряда Фурье.
43. Ряд Тейлора. Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора. Ряды Маклорена для элементарных функций.
f(x) x R; f(x) R
Определение: пусть f(x) определена в окрестности точки и имеет в этой окрестности производные всех порядков.
Тогда степенной ряд вида = + + + … + + … называется рядом Тейлора для функции f(x) в точке .
При =0 ряд Тейлора называется рядом Маклорена.
Если f(x) аналитично в точке , т.е. представимо в некоторой окрестности точки сходящимся к ней степенным рядом, т.е. f(x)= k={ x <p, p>0 }; то по предыдущему утверждению = .
f(x)= , x ⇒
Утверждение: Степенной ряд в круге сходимости (интервале) сходимости является рядом Тейлора своей суммы.
Замечание: Если функция имеет производные всех порядков некоторой окрестности точки это не означает, что ряд Тейлора сходится в функции f(x)= (проверить вокруг точки 0).
(0) =0 ряд Тейлора 0, f(x) 0.
Вспомним разложение функции f(x) по формуле Тейлора в точке
f(x)= + - остаточный член.
Утверждение: функция f(x) представлена рядом Тейлора с д. в точке , т.е. f(x)= , т.е. f(x)=S(x) = , x)= = =0.
Теорема (достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора): Если f(x)- бесконечно дифф. и все ее производные ограничены в совокупности в некоторой окрестности точки : C ≤ C, n=1, 2 … и x , то ряд Тейлора, построенный для f(x) в точке сходится в этой окрестности к f(x), т.е. f(x) представима рядом Тейлора. f(x)= .
Доказательство: напишем формулу Тейлора f(x)= + , напишем в форме Лагранжа:
= , , где все производные ограничены ≤ .
=0, т.к. =0. Тогда по утверждению ряд Тейлора сходится к f(x)в .
Замечание: =0. , = , = = =
=0< ⇒ схема по Даламберу, по необходимости призн. = 0.
Ряды Маклорена для 5 известных функций
, x (-
, x (-
, x (-
, x (-
, x (-
44. Ортогональная система функций. Ряды Фурье. Тригонометрический ряд Фурье, формулы для коэффициентов. (Ряды Фурье для четных и нечетных функций).
Пусть дана система функций на [ a, b ]; { (x) }- непрерывна, называется ортогональной на [ a, b ], если (x)dx=0, k, n; k n.
Система функций называется ортонормированная, если она ортогональна и (x)dx=1; n.
Утверждение: Система функций { , , , … , , } является ортогональной системой (тригонометрической) на [ -l; l ].
Доказательство: dx= ·2 dx= ǀ =0.
dx=0 и т.д.
Частный случай: l= ⇒ ортогональная тригонометрическая система { , , n=1, 2 …} на
[- ].
Ряды Фурье по ортогональной тригонометрической системе
Пусть f(x) абсолютно интегрируема на [ -l; l ], т.е. dx < .
Определение: говорят, что f(x) абсолютно интегрируема на [ -l; l ] разложена на этом отрезке, сходящийся тригонометрический ряд, если такие последовательности числовые { }, n=0, 1 …; и
{ } n=1, 2 …; что тригонометрический ряд + + (*) сходится и его сумма = f(x), т.е. f(x)= + + для x [ -l; l ].
Теорема: Если ряд (*) сходится к функции f(x) равномерно на [ -l; l ], т.е. f(x), то коэффициенты ряда находятся по формулам: (**)
Доказательство: функция { , , ортогональные тригонометрические системы функций на [ -l; l ], непрерывны и ограничены. Пусть ряд (*) сходится равномерно на [ -l; l ], т.к. ряд состоит из непрерывных функций ⇒ сумма ряда = f(x) непрерывна на [ -l; l ], т.е. интегрируемая функция.
Умножим обе части на x : f(x) = + + - сходится равномерно ⇒ почленно интегрируем + dx+ dx 0.
dx. . = .
Определение: ряд (*) с коэффициентами { , n=0, 1…} и { , n=0, 1…} вычисляемый по формулам (**) называется рядом Фурье, построенным по функции f(x) и ортогональной тригонометрической системе { , , , n=1, 2…}на [ -l; l ].
Замечание: Если функция f абсолютно интегрирована на [ -l; l ], то коэффициенты , - конечны.
Следствие: всякий равномерно сходящийся тригонометрический ряд по указанной системе функций является рядом Фурье своей суммы. Если f(x) абсолютно интегрирована, то по (**) , находятся, и можно построить тригонометрический ряд (*): f(x)
Частный случай разложения функций в ряд Фурье
1.Если f(x) четная, то разложение в ряд Фурье имеет вид f(x)= + . ;
, n=1, 2…, т.к. =0; n. dx= .
2. Если f(x) нечетная, то ряд Фурье имеет вид: f(x)= , где
3.Если f(x) задана на отрезке [0; l] ее можно продолжить на отрезок [ -l; 0 ] четным или нечетным образом (для нечетного продолжения при f(0) точку 0 исключают) и раскладывают функцию в ряд Фурье на [ -l; l ] по косинусам или синусам соответственно.