33. Ряды с неотрицательными членами. Признаки сравнения и его следствия.

, ≥ 0, n –ряды с неотрицательными членами.

Теорема (признак1 сравнения с неравенством): Пусть есть , ≥0.

Если: 1) ≤ n ≥ (или n ≥1), сходится, то сходится.

2) ≥ n ≥ , (или n ≥1), расходится, то ряд из расходится.

Доказательство: ≤ n ≥ 1 и сходится, тогда по теореме 1, т.к. сходится, ≥0

{ } ограничена, = C : ≤ C , n.

= ≤ = ≤ C , n ⇒ по теореме 1 сходится.

Следствие1 (признак 2 сравнения с эквивалентностями): , >0. Если { }, такой что = 0 (частный случай =1, т.е. ), то и равносходимы (либо оба расходятся, либо оба сходятся).

Следствие 2: Если =0 ( и сходится, то сходится ( =0).

34. Признаки Даламбера и Коши сходимости ряда.

Признак Даламбера

Теорема: Пусть рассмотрим , >0, условия:

1.Если такое q (0; 1) и N, что для n ≥ выполняется неравенство: ≤ q, то сходится.

2.Если N такое, что n ≥ выполняется неравенство: ≥ 1, то расходится.

Доказательство (*): 1) q (0; 1) и N, то n ≥ ⇒ ≤ q, пусть n= ≤ q⇒ ≤ q , аналогично ≤ q⇒ ≤ q , ≤ … ≤ , k=1, 2 …

= - ряд сходится ⇒ сходится ⇒ сходится (т.к. отличается от конечным числом слагаемых).

2) N, n ≥ , ≥ 1 ⇒ расходится. Пусть n = : ⇒ ,

↛0 (k→ .

Следствие (признак Даламбера): Если конечный = λ , то

Признак Коши

Теорема: , ≥0

1) Если такое q (0; 1) и N, что для n ≥ выполняется неравенство ≤ q, то сходится.

2) N такое, что n ≥ выполняется неравенство ≥ 1, то ряд расходится.

Доказательство: доказывается аналогично теореме Даламбера (*).

Следствие (признак Коши – предельный): Если конечный = q, тогда: 1)если q<1, то сходится. 2) если q>1, то расходится. 3) если q=1, то признак ответа не дает.

Замечание: признак Даламбера «слабее» признака Коши: если конечный предел = λ , то конечный предел , и λ. Т.е. если применим признак Даламбера ( конечное λ) и λ =1, то признак Коши тоже ответа не даст.

35. Знакочередующийся ряд. Признак сходимости Лейбница, следствие.

Определение: Ряд вида , где ≥0 называется знакочередующимся.

Теорема (признак Лейбница): Пусть для знакочередующегося ряда , где ≥0 выполнены условия:

{ n (или n≥ ) } т.е. 0 при . Тогда сходится.

Применим , = :

1) =0. 2) >= n⇒ сходится по признаку Лейбница.

Следствие 1: Для знакочередующегося ряда удовлетворяющего условиям 1), 2), сумма ряда S удовлетворяет неравенству: ≤ S ≤ для n.

Следствие 2: Если для знакочередующегося ряда выполняются условия 1), 2) признака Лейбница, то его остаток = не превышает по модулю модуля первого отброшенного члена: ≤ . Применяется это следствие для приближенных вычислений.