13. Несобственные интегралы второго рода (определение; свойства, включая интегрирование по частям и формулу Ньютона-Лейбница.

Пусть выполнены следующие условия:

1) f(x) определена на промежутке [a,b), где в качестве b может быть число или + ;

2) n [a,b) f(x) интегрируема на . Если конечный предел , то этот предел называется несобственным интегралом от функции f(x) по промежутку [a,b) и обозначается , т.е.

Если b конечна, а функция неограничена при x , то несобственный интеграл называется несобственным интегралом второго рода.

Свойства несобственных интегралов (рассматривается особенность в верхнем пределе)

1.Свойство линейности.

Теорема: если несобственный интеграл и сходятся, тогда для чисел несобственного интеграла сходится и =

Доказательство: т.к. функция f(x) и q(x) интегрируемы на отрезке [a; [a,b), то по свойству линейности интеграла Римана (определение интеграла) R = конечный lim(правой части) ⇒ lim левой части.

2.Свойство адъетивности.

Если a ≤ c b, то интегралы и равносходимы, т.е. сходятся или расходятся одновременно. В случае сходимости = + Возьмем (c,b).По свойству адъетивности . Если (т.е. сходится), то переходя к в равенстве ⇒ lim ( ⇒ (левой части) = и верно равенство: левая часть = правая часть.

3.Монотонность.

Если f(x) ≤ q(x) x [a,b) и несобственные интегралы и сходятся, то ≤ .

4.Формула Ньютона-Лейбница для несобственных интегралов.

Теорема: пусть функция f(x) непрерывна на [a,b) и F(x) первообразная для функции f(x) на [a,b), то несобственный интеграл сходится тогда и только тогда, когда конечный предел F( =F(b-), причем = - формула Н.-Л. Для несобственных интегралов.

Доказательство: в условии теоремы отрезка [a; справедлива формула Н.-Л. . Если конечный F( =F(b-),то конечный (правой части)= F( -F(a))=F(b)-F(a) ⇒ (левой части) = =(по опред.)

5.Интегрирование по частям.

Теорема: пусть функции и (x) непрерывно дифференцированы на [a,b). Если конечный предел ( (x)= ( ), то справедлива формула интегрирования по частям в несобственном интеграле. (x)dx= (x) dx, если dx сходится. Если dx расходится, то расходится. Доказывается применением формулы интегрирования по частям к определенному интегралу к [a; и предельн. перех. При

6.Замена переменных в несобственном интеграле.

Теорема: пусть функция f(x)непрерывна на [a,b) и x= φ(t) непрерывно-дифференцированная функция на , причем φ( (t)=b. (t ) строго возрастает на [a,b): тогда справедлива формула замены переменной ⇒ dt .

14. Условие сходимости несобственных интегралов. Несобственные интегралы от неотрицательных функций – признаки сходимости.

1.Для сходимости несобственного интеграла особенностью в точке b необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: для любой последовательности { , →b, а n→ , это означает: 1) . 2) { монотонно возрастает. [a,b), последовательность F = сходится, т.е = –по определению несобственного интеграла.

2.Критерий Коши (критерий сходимости несобственных интегралов). Для того, чтобы сходился, необходимо и достаточно, чтобы для 0 , [a,b), что , '' [ ,b) ⇒ .

Доказательство: F = F 0. : , '' [ ,b) ⇒ - | = | - =по свойству адитивности опред. интеграла |.

Признаки сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функций

I)Теорема: если неотрицательна на [a,b) и непрерывна на [a,b), то для сходимости несобственного интеграла необходимо и достаточно, чтобы функция : F = была ограничена, т.е. С: | | ≤ С [a,b).

Доказательство: т.к. функция неотрицательна на [a,b), то первообразная = возрастающая функция на [a,b): ≥ ⇒ ; +

+ при

1. - ограничена и возрастает на [a,b), тогда по теореме о пределе монотонной функции конечный F на [a,b). ⇒ .

2. Если не ограничена и возрастает по той же теореме F + ⇒ расходится.

Признак сравнения I) с неравенствами

Теорема: Если и g(x) непрерывны на [a,b) и 0≤ ≤ g(x) x [a,b), тогда: 1)из сходимости несобственных интегралов , следует сходимость несобственного интеграла . 2)если несобственный интеграл расходится, то расходится и .

Доказательство: обозначим первообразную функции F = ; G( = . Для [a,b) F G( (т.к. ≤ g(x) x [a,b) + (свойство неинтегр. опред., связанное с неравенствами).

1.Пусть сходится ⇒ по предыдущей теореме 1 G( -ограничена С: | | ≤ С, | | = ≥ 0, т.к. неотрицательна ⇒ 0≤ F G( ≤ С [a; 0) ⇒ по той же теореме 1 .

2. Пусть расходится (по теореме1) ⇒ {F - не ограниченна ⇒ { G( - не ограничена, т.к. G( ≥ F [a,b)⇒ (по теореме 1), что расходится.