39. Признак Абеля и Дирихле равномерной сходимости ряда. Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов – непрерывность предельной функции и суммы ряда.
(x), (x).
Признак
Дирихле: 1)
=
{
(x)
} равномерно
ограничена Е :
C
≤ C
n.
2) { (x) } x Е и (x) 0 (сходится).
Признак Абеля: 1) сходится равномерно на Е.
2)
{
(x)
} монотонна
по n
при
функций x
Е
и равномерно ограничена, т.е.
M
:
≤ M
n
и
x
Е.
Свойства равномерно сходящихся последовательностей
1.{
(x)
}, {
(x)
} сходятся
равномерно на Е ⇒
{
(x)+
(x)
} сходится
равномерно на Е.
2. { (x) } сходится равномерно на Е.
(x) – ограниченная последовательность ⇒ { (x), (x) } сходятся равномерно на Е
Признаки равномерной сходимости ряда
Теорема: сходится равномерно на Е =0.
=0.
Следствие: если 0 ⇒ сходится неравномерно на Е.
40. Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов: почленная дифференцируемость и интегрируемость.
Теоремы о непрерывности
Рассматриваются
комплекснозначные функции на множестве
Последовательность непрерывных в точке функций сходится к функции непрерывной в этой точке.
Последовательность
функция
непрерывна
в точке
Тогда
непрерывна
в
.
Ряд непрерывных в точке функций сходится к функции непрерывной в этой точке.
Ряд
функция
непрерывна
в точке
Тогда
непрерывна
в
.
Теоремы об интегрировании
Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.
Теорема о переходе к пределу под знаком интеграла.
функция
непрерывна
на отрезке
на
Тогда
Теорема о почленном интегрировании.
функция непрерывна на отрезке
на
Тогда
Теоремы о дифференцировании
Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.
Теорема о дифференцировании под пределом.
функция непрерывно дифференцируема на отрезке
сходится
на
отрезке
Тогда
—
непрерывно дифференцируема на
,
на
Теорема о почленном дифференцировании.
функция непрерывно дифференцируема на отрезке
сходится
равномерно
сходится на отрезке
Тогда
—
непрерывно дифференцируема на
,
на
.
41. Степенные ряды. Теорема Абеля, радиус сходимости, круг (интервал) сходимости, формула Коши-Адамара.
42. Формула Даламбера для радиуса сходимости степенного ряда. Теорема о почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда. Аналитическая функция, единственность коэффициентов.
Степенные ряды с центром 0, т.е. ряды вида
(*)
На
практике радиус сходимости степенного
ряда чаще всего определяют с помощью
признака сходимости Даламбера.
Предположим, что все коэффициенты ряда
(*) отличны от нуля и существует предел
Тогда
радиус сходимости находится по формуле 
Действительно, в силу признака Даламбера ряд
сходится, если число
меньше
1, и расходится, если этот предел больше
1. Иначе говоря, ряд сходится для всех x
таких, что
и
расходится при 
Это
и означает, что число 
является
радиусом сходимости ряда (*).
Можно
доказать, что сумма степенного ряда
f(x)
непрерывна и дифференцируема на любом
отрезке
внутри
интервала сходимости, в частности в
любой точке интервала сходимости ряда.
Приведем теоремы о почленном дифференцировании и интегрировании степенных рядов.
Теорема
1. Степенной
ряд (*) в интервале его сходимости можно
почленно дифференцировать неограниченное
число раз, причём получающиеся при этом
степенные ряды имеют тот же радиус
сходимости, что исходный ряд, а суммы
их соответственно равны
.
Теорема
2. Степенной
ряд (*) можно неограниченное число раз
почленно интегрировать в пределах от
0 до х,
если
,
причём получающиеся при этом степенные
ряды имеют тот же радиус сходимости,
что и исходный ряд, а суммы их соответственно
равны
