1.Определенный интеграл Римана. Основные определения. Необходимое условие интегрируемости. Суммы Дарбу и их свойства. Условие интегрируемости.

Введём понятие определенного интеграла исходя из классической геометрической задачи вычисления площади криволинейной трапеции. Пусть функция g=f(x) определена на [a, b]. Определение: Ф-ия f(x) называется интегрируемой на сегменте [a,b], если существует конечный предел I интегральных сумм этой фу-ии при ∆->0.Число I называется определенным интегралом функции f(x).

Теорема: Если f(x) интегрируема на [a;b], то она ограничена на нем.

Док-во: Предположим, что f(x) не ограничена на отрезке [a,b]. Тогда для каждого разбиения найдётся хотя бы один отрезок [Хk−1; Хk], на котором функция окажется неограниченной. Но тогда в интегральной сумме хотя бы одно слагаемое ΔХk f(ξ k ) будет произвольно большим, и тогда последовательность интегральных сумм сходящейся быть не может. Значит, функция не интегрируема, что противоречит предполагаемому.

Противоречие: Не всякая ограниченная функция является интегрируемой.

Нижние и верхние суммы Дарбу. Разбиение отрезка [a;b] на n частичных отрезков точками a=x₀≤x₁≤x₂≤ x_n=b T-разбиение. Пусть [x_i-1;x_i] – произвольный i-ый частичный сегмент и пусть m_i и M_i соответственно верхние и нижние грани функции f(x) на этом сегменте. Суммы S= и s= называются верхней и нижней суммой функции f(x)для заданного T-разбиения. (суммы Дарбу)

Свойства сумм Дарбу:

1 свойство для любого фиксированного T-разбиения и любого ε>0 найдется набор промежуточных точек ξ_i [x_i-1; x_i] такой, что выполняться 0≤S-I(x_j; ξ_i)<ε 0≤I(x_j; ξ_i)-s<ε. Доказательство: рассмотрим j-ый частичный сегмент [x_i-1; x_i]. На этом сегменте функция f(x) имеет в качестве точной нижней и верхней грани числа m_i и M_i. В соответствие с определением точной верхней грани для любого ε₁=ε/b-a найдется хотя бы 1 значение ξ_i [x_i-1; x_i] такое, что выполняется 0≤ ε₁ . Домножим эти неравенства на и проссумируем по i от 1 до n. 0≤ - <ε₁ получаем 0≤S-I(x_j; ξ_i)<ε

Свойство 2 Пусть разбиение Т’ получается из разбиения Т добавлением конечного числа точек. Пусть далее s, S и s’, S’ соответственно верхние и нижние суммы для Т и T’. Тогда справедливы неравенства S≥S’ и s≤ s’ Доказательство: рассмотрим случай, когда к разбиению Т добавляется 1 точка чтобы (чтобы получить T’). Пусть эта точка x’ попадает на i-ый сегмент [x_i-1; x_i]. Следовательно [x_i-1; x’] и [x’; x_i] длиной соответственно и . Очевидно, что . Обозначим очные верхние и нижние грани на сегментах [x_i-1; x’] и [x’; x_i] соответственно через M’_i и M’’_i . рассмотрим разницу S-S’=M_i -[ M’_i + M”_i ]=(M_i-M’_i) +( M_i-M’’_i) ≥0 следовательно S-S’≥0 cл-но S≥S’ Cвойство 3 пусть T’ и Т" два разбиения сегмента s’’≤S’ и s’≤S” Док-во: Пусть T” получено из T’ добавлением точек. Тогда справедливо неравенство s’≤s”≤S”≤S’.

Cвойство 4 множество верхних сумм {S} ограниченно снизу, а множество нижних сумм {s} ограниченно сверху. Док-во: из свойства 3 следует, что если выбрать фиксированное разбиение Т₀, то для всех S {S} выполняется S≥s₀ .

Свойство 5 Пусть T’ разбиение получается из T разбиения добавлением p точек. Тогда справедливо неравенство S-S’≤(M-m)p , s’-s≤(M-m)p , где =max x_i