29. Достаточные условия экстремума функции многих переменных. Проверка экстремума для функции двух переменных.
тогда ⇒
, y=
-квадратичная
форма.
,
А=(
-
симметричная
матрица.
А(y)=
квадратичная
форма для (y
.
Определение:
1)
Квадратичная
форма называется положительно-определенной,
если А(y)>0
y
.
2) Квадратичная форма называется отрицательно-определенной, если А(y)<0 y .
3)
Квадратичная форма называется
знакопеременной, если
,
.
А(
)>0,
А(y)<0.
4) Квадратичная форма называется неотрицательно-определенной, если А(y)≥0 y.
5) Квадратичная форма называется неположительно-определенной, если А(y)≤0 y.
Теорема Сильвестра (Критерий Сильвестра):Пусть А=( матрица квадратичной формы А(y), .
1)
Квадратичная
форма положит. определяется тогда и
только тогда
когда
все угловые
миноры положительны:
>0,
i=1,
.
2)
Квадратичная
форма отрицат. определяется
когда
знаки угловых
миноров чередуются,
<0,
т.е.
=
, i=1,
.
Угловым минором k-го порядка матрицы А называют минор, стоящий в верхнем левом углу матрицы А.
,
,
.
Теорема
1(необходимое условие экстремума): Если
функция f(x)
имеет в точке
экстремум и в некоторой окрестности
точки
имеет производные второго порядка,
непрерывные в
точке
.
Тогда
и
≥0
неотрицательно-определенная квадратичная
форма, если в
точке
локальный минимум или
≤0
если в точке
экстремум максимум.
Теорема
2(достаточное условие экстремума): Пусть
выполнены следующие условия: 1)
- стационарная точка функции
(т.е.
.
2)
в некоторой окрестности точки
и непрер. в точке
.
Тогда, если
положительно-определенная квадратичная
форма, то функция f(x)
имеет в точке
локальный экстремум минимум. Если
отрицательно-неопределенная квадратичная
форма, то функция f(x)
имеет в точке
локальный экстремум максимум. Если
знакопеременная квадратичная форма,
то функция f(x)
не имеет
экстремума в точке
.
Доказательство: воспользуемся формулой Тейлора 2-го порядка в форме Пеано в точке f(x)=f( )+
+
+0
(
,
где
=
;
f
=
+0
(
=
+
0
(
=
(
)
(
)+
(
=
(
=
(
A
(
-
квадратичная форма задана на сфере в
A ( принимает в какой-то точке наименьшее значение.
1 квадратичная форма (2 дифф.) положительно-определенная A ( >0 ; m=i n f A ( >0.
для
бетта: {
f
=
(
A
(
)>
3 случай: Если знакопеременная квадратичная функция, то по теореме 1 в точке не может быть не локального максимума, не локального минимума ⇒ экстремума нет.
Исследование на экстремум функции 2-ух переменных
Пусть функция U= f(x, y) дифф. в точке , , и имеет 2-ые непр. частные производные в этой точке. Пусть точка - стационарная точка функции f.
{
⇒
,
A=(
и
A
=(
.Если (A
>0
экстремум
есть.
а)
=
>0,
то экстремум минимум
б) если
<0
экстремума нет.
г) если =0 требуется дополнительное исследование, а именно есть или нет экстремум,
f , меняет или не меняет знак в окрестностях точки ,
30. Условный экстремум: прямой метод, метод Лагранжа.
Пусть
в Д
⊂
определенной функции
m<n.
Пусть
S
–множество
точек области Д
удовлетворяющих
системе уравнений:
(*)
т.е. S –поверхность, заданная (*) в .
Уравнения (*) будем называть уравнениями связей (или просто связями).
Рассмотрим
функцию
когда x
S,
имеет
ли функция
экстремум в точке
S
при
условии, что рассматриваемые точки
S,
т.е.
координаты удовлетворяют уравнению
(*).
Определение:
Говорят,
что
имеет в точке
S
экстремум
максимум (минимум) при наличии уравнений
связи (*) или говорят имеет условный
экстремум максимум (минимум) если
,
что
x
S⇒
f(x)≤
f(
)(
для
минимума: f(x)≥
f(
)).
Два метода решения задач на условный экстремум.
1)Прямой метод нахождения условного экстремума (метод исключения неизвестных). Предположим, что (*) позволяет однозначно выразить какие-либо m переменных через остальные (m-n) переменных.
Пусть
переменные
…
выражаются из (*) через остальные
переменные.
Выражаем
(**) подставляем в
(
,
,
…
,
,
…
=
F
- исследование на экстремум как функцию
n-m
переменных.
2)Метод множителей Лагранжа.
Определение:
при
исследовании на экстремум функции
при наличии уравнений связи (*) строится
функция Лагранжа. Обозначается: L
(x,
λ), где
x=
,
λ=
и
равная L
(x,
λ)=
+
+…
+
Стационарной
точкой функции Лагранжа называется
точка
,
координаты которой система уравнений:
Теорема
1: 1)
Пусть в точке
- условный экстремум в
(x)
при наличии функций связи (*):
.
2)Пусть
(x),
…
непр.
дифф. в некоторой окрестности точки
3)В
точке
матрица Якоби системы функций
…
Ф'(x)=
имеет
ранг=m.
(Ф'(x))
=
m⇒
такие
числа
, что точка
,
является стационарной точкой функции
Лагранжа.
Условный экстремум функции 2-ух переменных.
Экстремум
функции
при условии
.
1)Строим функцию Лагранжа и находим ее стационарные точки.
L
(x, y,
)=
+
,
и
.
2)Находим 2 фиксированные функции L в .
=
(
+2
dx
dy +
.
3)Находим
связь dx
и
dy
в
с помощью дифф. от уравнения связи
=0⇐
dy=
Е=
{(
dx,
dy):
}
заменяем
и получаем
