36. Абсолютная и условная сходимость ряда (определение, свойства абсолютно-сходящихся рядов). Примеры исследования сходимости ряда. Признаки Абеля и Дирихле.
Определение: Ряд называется знакопеременным, если он содержит как положительные, так и отрицательные члены.
Определение:
Ряд
из
называется абсолютно-сходящимся, если
сходится ряд
Свойства абсолютно-сходящихся рядов
1.Если ряд сходится абсолютно, то он сходится (т.е. сходится ⇒ сходится) – вытекает из критерия Коши и свойств модуля.
2.Если
два ряда абсолютно сходятся (
и
сходятся), то
абсолютно сходится.
3. Если ряд сходится абсолютно, то ряд полученный из него при перестановке любого конечного числа членов сходится абсолютно и сумма ряда при этом не меняется.
4. Если ряд сходится абсолютно, то абсолютно сходятся ряды, составленные только из положительных или только из отрицательных членов ряда.
Определение: Ряд называется сходящимся условно, если расходится, а сходится.
Теорема
(признак Дирихле): 1)
=
определена,
т.е.
C:
≤ C
n.
2){
}
монотонна
и
;
или
⇒
сходится.
Теорема (признак Абеля): 1) сходится.
2){
}
монотонна
и ограничена, т.е.
M:
≤ M
n
⇒
сходится.
37. Функциональные последовательности и ряды: сходимость, равномерная сходимость, связь утверждений о функциональных последовательностях и рядах.
Функциональные последовательности
Пусть
Д
R
если
n
(n=(1,
2 …)) поставлено
в соответствие по некоторому закону
функции
(x),
x
Д, то
множество этих функций называется
функциональной последовательностью.
Будем считать, что все (x) определены на Д.
Определение:
{
(x)
} называется
сходящейся в точке
< Д
если
числовая посл-ность {
(
)
} сходится,
т.е.
число
:
;
=
Определение:
Функциональная
последовательность{
(x)
}
сходится равномерно к пределу функции
f(x)
на
Е
если
>0,
N=N(
,
что
для
n
>
N
и
для
x
Е
⇒
<
.
Обозначается
(
-
+
,
n
>
N и
x
(a, b).
Признак сходимости последовательности
Теорема: сходится => =0.
Функциональные ряды
Пусть
{
(x)
}- функциональная
последовательность на Д,
называется
функциональным рядом.
Множество точек в которых (x) определена, называется областью определения функционального ряда.
Определение:
функциональный
ряд называется сходящимся в точке
Д,
если
числовой ряд
сходится:
=
,
= S
.
Множество точек в которых сходится, называется областью сходимости функционального ряда.
На
Е определена функция S
- сумма
функций ряда. S
=
x
Е,
→
S
.
Остатком
ряда
(x)=
,
сходится
если
(x)=0
(на
Е).
сходится
⇒
{
(x)
} сходится.
(x)=
.
{ (x) } функциональная последовательность ⇒ построим ряд:
=
;
=
-
;
=
(x)-
(x);
=
(x).
38. Критерий Коши равномерной сходимости, признак Вейерштрасса.
Определение: Функциональный ряд сходится равномерно на Е, если { (x) } сходится равномерно на Е к S , т.е. (x) S .
Признаки равномерной сходимости ряда
Теорема:
сходится
равномерно на Е
=0.
=0.
Следствие:
если
0
⇒
сходится неравномерно на Е.
Теорема
(Критерий Коши):
сходится
равномерно на Е
> 0
N=N(
:
n>
N;
p
(p=1,2
…) и
x
Е
⇒
<
.
Теорема
(Признак Вейерштрасса):
x
Е.
Если:
1)
≤
x
Е.
2) - сходится, то сходится на множестве Е равномерно.
Числовой ряд из условий 1), 2) называется мажорирующим рядом.
Доказательство: из критерия Коши равномерной сходимости функционального ряда и критерия Коши сходимости членов ряда .