27. Дифференцируемое отображение. Якобиан и его свойства. Системы функций, заданных неявно – теорема. Якобиан и зависимость – независимость функций.
Пусть
в пространстве
(или в области Д
⊂
)
задана m
функции
(
,
(
,
(
.
Определение:
если
функции
дифф., то функц. матрица, состоящая из
частных производных
(x),
i=1,
, j=
1,
называется
матрицей Якоби системы функции {
(x)
}, i=1,
.
Ф'(x)= ) по столбцам стоят градиенты функции.
Ф'(x)=
)
. Если m=n,
то определитель называется Якобианом.
Обозначается
:
=
=
.
Определение:
функции
(
и m(
называются зависимой в области Д
⊂
если
непрерывно
дифф. функция от (m-1)
переменной G,
такая, что одна из функций
=
G(
x
Д , если
одна из них зависит от остальных функций.
В противном случае функция называется
независимой.
Теорема
1 (необходимое условие зависимости
функций): Если
функции
зависимы (m≤n),
то ранг матрицы Якоби (
(Ф'(x))<m)
в
m
Д.
Эквивалентная формулировка: Если система функции зависима в области Д, то градиенты этих функций линейно зависимы.
Следствие: Пусть m=n и система функции зависима, тогда =0.
Следствие(достаточное условие независимости функций): Если m≤n и ранг матрицы Якоби (Ф'(x)) хотя бы в одной точке Д равен m , то система функций независима.
Теорема 2 (достаточные условия зависимости функций): Пусть выполнены следующие условия:
1) m≤n.
2) (Ф'(x))< , – фиксированный в любой точке области Д.
3) Хотя бы в одной точке (Ф'( ))= .
(т.е.
точки переменных и таких функций
.
=
0.
Тогда: 1) функции независимы в области Д. 2) окрестность точки : U( ⊂ Д, такая, что из оставшихся (m- ) функций зависит от .
28. Локальный экстремум функции многих переменных. Необходимые условия экстремума.
Говорят, что функция f(x)=f( ….. ) имеет в точке ( ….. ) .
Локальный минимум (максимум)
Если
такая окрестность в точке
(
),
то
x
(
)
⇒
f(x)
≥ f(
)
(f(x)
≥ f(
)).
Вместе
говорят, что локальный максимум и минимум
называется локальный экстремум.
Эквивалентное определение ⇒
f(x)
имеет
в
точке
локальный максимум (минимум) если
такая
(
),
то
f
=
f(x)-
f(
)≤
0,
( f ≥0) x ( ).
Теорема
1 (необходимое условие экстремума): Если
f(x)
имеет
в точке
экстремум, и
,
то
=0.
Доказательство:
Пусть
f(x)
имеет
в точке
локальный экстремум и
.
Покажем, что
=0.
Рассмотрим функцию одной переменной
;
=f(
…..
):
имеет в точке экстремум.
=
⇒По
теореме Ферма:
=0
⇒
=0.
Следствие:
Если
функция f(x)
имеет
в точке
экстремум и дифференцируема в этой
точке, то
=0.
Доказательство:
=
·
=0,
диффер.
по теореме 1
=0
⇒
и
имеет экстремум
i.
Определение: Если функция f(x) дифференцируема в точке и дифференциал в точке =0, то точка называется стационарной точкой функции f.
Замечание: из необходимых условий видим, что точки экстремума функции надо искать среди точек, в которых f(x) не дифференцируема, либо в которых дифф., и =0, т.е. среди стационарных точек.
Замечание
2: Рассмотрим
функции
(
=
+
;
(
=
-
.
Стационарные
точки ⇒
⇒
=
(
-
=
+
≥0,
имеет в точке
(0,0)
экстремум минимум.
=
-
,
=
,
x
рисунок
=
<0,
y
меняет значение ⇒
экстремума нет.
рисунок
z=
(
=
+