31. Математический аппарат решения оптимизационных задач.

При решении конкретной задачи оптимизации исследователь прежде всего должен выбрать математический метод, который приводил бы к конечным результатам с наименьшими затратами на вычисления или же давал возможность получить наибольший объем информации об искомом решении. Выбор того или иного метода в значительной степени определяется постановкой оптимальной задачи, а также используемой математической моделью объекта оптимизации.В настоящее время для решения оптимальных задач применяют в основном следующие методы:методы исследования функций классического анализа;методы, основанные на использовании неопределенных множителей Лагранжа;вариационное исчисление;динамическое программирование;принцип максимума;линейное программирование;нелинейное программирование.В последнее время разработан и успешно применяется для решения определенного класса задач метод геометрического программирования.Как правило, нельзя рекомендовать какой-либо один метод, который можно использовать для решения всех без исключения задач, возникающих на практике. Одни методы в этом отношении являются более общими, другие - менее общими. Наконец, целую группу методов (методы исследования функций классического анализа, метод множителей Лагранжа, методы нелинейного программирования) на определенных этапах решения оптимальной задачи можно применять в сочетании с другими методами, например динамическим программированием или принципом максимума.Некоторые методы специально разработаны или наилучшим образом подходят для решения оптимальных задач с математическими моделями определенного вида. Так, математический аппарат линейного программирования, специально создан для решения задач с линейными критериями оптимальности и линейными ограничениями на переменные и позволяет решать большинство задач, сформулированных в такой постановке. Так же и геометрическое программирование предназначено для решения оптимальных задач, в которых критерий оптимальности и ограничения представляются специального вида функциями полиномами.Динамическое программирование хорошо приспособлено для решения задач оптимизации многостадийных процессов, особенно тех, в которых состояние каждой стадии характеризуется относительно небольшим числом переменных состояния. Однако при наличии значительного числа этих переменных, т. е. при высокой размерности каждой стадии, применение метода динамического программирования затруднительно вследствие ограниченных быстродействия и объема памяти вычислительных машин.

Наилучшим путем при выборе метода оптимизации, наиболее пригодного для решения соответствующей задачи, следует признать исследование возможностей и опыта применения различных методов оптимизации.

32) Определение двойственной задачи и этапы ее построения

Пусть задана каноническая задача ЛП

(2.1)Если целевая функция f(x) = cx достигает максимального значения на множестве D, то обоснованным представляется вопрос о том, каким образом можно построить верхнюю оценку для нее. Очевидно, что если через и обозначить некоторый m-мерный вектор, тоcx = cx+u(-Ax+b) = (c-uA)x+bu Предположим, что и можно выбрать таким образом, чтобы иА ≥ с. Тогда при любых х≥0 справедливо неравенствосх≤bи Стремясь получить наилучшую оценку (2.2), мы приходим к формулировке некоторой новой экстремальной задачи, которая в некотором смысле логически сопряжена с задачей (2.1) и называется двойственной. Оговоримся, что приведенные рассуждения не носят строгого характера и предназначены только для того, чтобы подготовить читателя к приводимому ниже формальному определению двойственной задачи линейного программирования.Если задана каноническая задача ЛП

(2.3)

то задача ЛП

называется двойственной по отношению к ней. Соответственно, задача (D,f) no отношению к (D*, f*) называется прямой (или исходной).Как следует из приведенной схемы при переходе от прямой задачи ЛП к двойственной:1. Тип оптимума меняется на противоположный, т. е. максимум на минимум, и наоборот.2. Вектор коэффициентов целевой функции c и столбец ограничений b меняются местами.3. Матрица ограничений задачи А транспонируется.4. Множество индексов переменных, на которые наложено условие неотрицательности в прямой задаче (например, х_j≥0 или u_i≥0), определяют номера ограничений, имеющих форму неравенств в двойственной задаче (а^jи≥с_j или a_ix≤b_i).5. Множество номеров ограничений, имеющих форму неравенств в прямой задаче (например, a_ix≤b_i или а^jи≥с_j), определяют множество индексов переменных, на которые накладывается условие неотрицательности, в двойственной задаче (u_i≥0 или х_j≥0).Из приведенного определения вытекает важное свойство — симметричность отношения двойственности, т. е. задача, двойственная по отношению к двойственной, совпадает с прямой (исходной) задачей(D*)*, (f*)*)≡(D, f),Тем самым имеет смысл говорить о паре взаимно двойственных задач.В матричной форме пара двойственных общих задач линейного программирования может быть кратко записана как:

и