Упрощение записи формул:

1) внешние скобки можно отпускать;

2) приоритет применения связок возрастает в следующем порядке: ~,,,&;

3) связка – над одной переменной сильнее всех связок;

4) если связка – стоит над формулой, то сначала выполняется формула, затем отрицание;

5) если нет скобок, то операции и выполняются в последнюю очередь.

Теорема о замене подформул на эквивалентные

Пусть N<M> и имеет вид:N(x₁, ...,x_n) =g(G₁, ...G_i, ...,G_m). Пусть подформулаG_i~G_i, тогда формулаN(x₁, ...,x_n) =g(G₁, ...,G_i,...,G_m) эквивалентна формулеN(x₁, ...,x_n) = g(G₁, ...,G_i, ...,G_m).

Доказательство.ФормулыNиNэквивалентны, если реализуют одну и ту же функцию. Согласно построению функции, реализующей формулу имеем:

N(x₁, ...,x_n) =g(f₁(x₁, ...,x_n), ...,f_i(x₁, ...,x_n), ...,f_m(x₁, ...,x_n)),

N(x₁, ...,x_n)= g(f₁(x₁, ...,x_n), ...,f_i(x₁, ...,x_n), ...,f_m(x₁, ...,x_n)).

По условию G_i~G_i, следовательно на наборе₁, ...,_n) имеемf_i ₁, ...,_n) = =f_i₁, ...,_n) следовательно, на любом наборе₁, ...,_n)значения функцииg(f₁, ...,f_i, ...,f_m) иg(f₁, ...,f_i, ...,f_m) совпадают. ПолучимN~N.

Некоторые свойства элементарных функций

1. Идемпотентность & и :х&x=x,xx=x.

2. Коммутативность &,,,|,~,.

3. Ассоциативность &,,,~, поэтому в формулах видаxyzможно не ставить никаких скобок.

4. Дистрибутивность:

а) & по отношению к :x&(yz)=xyxz,

б) по отношению к &:x(y&z)=(xy)&(xz) ,

в) & по отношению к :x(yz)=xyxz.

5. Инволюция : =х.

6. Правило де Моргана: =&и =.

7. Законы действия с 0 и 1:

x0=x,x1=1 ,x=1 ,x&0=0 ,x&1=x,x&=0 ,x1=,x0=x.

8. Самодистрибутивность импликации: x(yz)=(xy)(xz).

Равенство всех этих формул доказывается по определению, т.е. по равенству функций, которые они реализуют.

Проверим для примера самодистрибутивность импликации : x(yz)=(xy)(xz).

x	y	z	yz	x(yz)	xy	xz
0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1	1 1 0 1 1 1 0 1	1 1 1 1 1 1 0 1	1 1 1 1 0 0 1 1	1 1 1 1 0 1 0 1	1 1 1 1 1 1 0 1

Следствия из свойств элементарных функций

1. Законы склеивания:

xyx=x(y)=x1=x(дистрибутивность & относительно);

(xy)&(x)=xy=x0=x(дистрибутивностьотносительно &).

2. Законы поглощения:

xxy=x(1y)=x1=x;x&(xy)=xxy=x.

Свойства элементарных функций и теорема о замене подформул на эквивалентные позволяют упрощать формулы.

Пример 3:

Упростим формулы:

1. x₂x₃x₁₂x₃ =x₃(x₂x₁₂) = x₃((x₂x₁)&(x₂₂)) = (x₁x₂)x_3.

2. x₁₁x₂₁₂x₃₁₂x₃x₄ =x₁₁(x₂₂₃x₄) =x₁₁(x₂x₃₂₃x₄) = (x₁₁)(x₁x₂x₃₂₃х₄) =x₁(x₂x₃)()x₄ =x₁(x₂х₃())(x₂x₃x₄) =x₁x₂x₃x_4.

2.3 Принцип двойственности

Определение 1.Функцииf*(x₁, ...,x_n) называется двойственной к функцииf(x₁, ...,x_n), еслиf*(x₁, ...,x_n) = (₁, ..., _n).

Пример 1. Покажем с помощью таблицы истинности, что константа 0 двойственна к 1:

x	f	f*
0 1	0 0	1 1

Функции f(x) = x и g(x) = двойственны сами себе:

x	f	f*	g	g*
0 1	0 1	0 1	1 0	1 0

так как f*(0)=(1).

Определение 2.Еслиf*(x₁, ...,x_n) =f(x₁, ...,x_n), тоf(x₁, ...,x_n) называется самодвойственной.

Пример 2. Покажем, чтоf(x₁,x₂,x₃)=x₁x₂x₃ – самодвойственна:

x1	x2	x3	f	f*
0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1	0 1 1 0 1 0 0 1	0 1 1 0 1 0 0 1

Если f*– самодвойственна, то (₁, ..., _n) =f(x₁, ...,x_n), т.е. на противоположных наборах функция принимает противоположные значения.