МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ТАВРИЧЕСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. В.И. Вернадского

КАФЕДРА ИНФОРМАТИКИ

Сборник заданий

по дисциплине

“ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА”

для студентов факультета математики и информатики

Симферополь

2000 г.

Сборник заданий по дисциплине “Дискретная математика” содержит методические указания и задания по основным темам курса для студентов специальностей «информатика» и «прикладная математика».

Составители:

-Донской В.И., доктор физ.-мат. наук, профессор,

-Руденко Л.И., кандидат физ.-мат. наук, доцент,

- Козлова М.Г., ассистент.

1. КОМБИНАТОРИКА И СВОЙСТВА МНОЖЕСТВА Вⁿ

ВЕРШИН ЕДИНИЧНОГО n-МЕРНОГО КУБА

Основные понятия.

Вектор =(₁,₂,...,_n),координаты которого принимают значения из множества {0,1}, называетсядвоичным (булевым) векторомдлиныn.

Множество всех булевых векторов длины nназывается единичным n-мерным кубоми обозначаетсяBⁿ. Весом или нормой вектора называется число |||| =.

Множествовсех вершин куба, вес которых равенk, называетсяk-мслоем кубаBⁿ. Числоназываетсяномером вектора.

Число — называетсярасстоянием Хемминга.

Наборы (векторы) иназываютсясоседними, если(,)=1, ипротивоположными, если(,) = n.

Говорят, что набор предшествуетнабору(обозначение:), если для всехi=1,...,na_i b_i. Если при этом, то говорят, чтострого предшествует(обозначение ). Если выполняется условие () или (), тоиназываютсравнимыминаборами, иначе —несравнимыми. Последовательность вершин кубаBⁿ называетсяцепью, соединяющейи, если для i=1,..,k, все вершины в последовательности различны. Числоkназываетсядлиной цепи. Цепь называется возрастающей, еслидляi=1,...k. Если , то цепь называютциклом.

Множество всех наборов (a₁,...,a_n) из, у которыхa_ij=_j

(j=1,...,k), называетсяграньюкубаBⁿ. Множество номеров перeменныхI={i₁,...,i_k} называетсянаправлениемграни, числоk —рангом грани, (n-k) — размерностью грани.Интервалом кубаBⁿназывается множество вида. Числоназывается размерностью интервала.

ЗАДАЧИ

1.1.Доказать, что для любыхизBⁿсправедливо соотношение

1.2.Найти число неупорядоченных парнаборов изBⁿ, таких, что.

Найти число неупорядоченных пар соседних вершин в Bⁿ.

1.3. Найти число наборов весаk.

1.4.Чему равно число наборов из , удовлетворяющих условию?

1.5.Доказать, что мощность любого подмножества попарно несравнимых наборов множестваВⁿ

не превосходит . Здесь

1.6.Показать, что всякое подмножество, содержащее не менееn+2векторов, содержит пару несравнимых векторов.

1.7.Пусть. Доказать, что число наборовравно2^k.

1.8.Пустьи— множество всех векторов изВⁿ, сравнимых с. Найти мощность множестваC:

1.9. Доказать, что вBⁿсуществуетn! различных возрастающих цепей длиныn.

1.10. Доказать, что число попарно различных возрастающих цепей длины n, содержащих фиксированную вершину

из, равноk!(n-k)!

1.11. Доказать, что все наборыBⁿможно расположить в последовательность, являющуюся циклом.

1.12. Доказать, что число всех граней рангаkкубаBⁿравно.

1.13. Доказать, что число всех граней кубаBⁿравно.

1.14. Доказать, что число граней размерностиk, содержащих заданную вершину, равно.

1.15. Доказать, что число граней размерностиk, содержащих заданную грань размерностиl, равно.

1.16. Доказать, что грань размерностиkявляется интервалом размерностиk.