Задачи.
11.1. Показать, что для произвольного графа G=(V,X) справедливо равенство
.
11.2. Изобразить все попарно неизоморфные 4-вершинные графы без петель и кратных ребер.
11.3. Показать, что в любом графе без петель и кратных ребер, содержащем не менее 2 вершин, найдутся 2 вершины с одинаковыми степенями.
11.4. Среди пар графов, изображенных на рис.1-3, указать пары изоморфных и неизоморфных графов.
12. Элементы теории кодирования
Основные понятия:
Пусть
— алфавит. Конечная последовательность
символов из U называется
словом в алфавите U.
Через S(U)
обозначим множество всех слов в алфавите
U.
Пусть U и B
— два алфавита. Однозначное отображение
F произвольного
подмножества
на
подмножества
называется кодированием. При этом
слова из M называются
сообщениями, а их образы — кодами
сообщений. Множество С называется
кодом множества сообщений М.
Алфавит U называется
алфавитом сообщений, а алфавит В
— кодирующим алфавитом. Кодирование
F называется
взаимно однозначным, если каждый
код сообщения является кодом ровно
одного сообщения.
Пусть задано отображение букв алфавита U в множество S(B) вида
Кодирование
,
удовлетворяющее свойствам:
где под произведением слов АВ понимается приписывание слова В справа к слову А, называется алфавитным кодированием, задаваемым схемой .
Если
то
называется префиксом, а
— суффиксом слова В. Префикс (суффикс)
слова В называется собственным,
если он отличен от пустого слова
(обозначаемого через )
и от самого слова В. Длиной слова
называется число букв в нем. Схема
обладает свойством префикса, если для
любых слов
и
(
)
из С()
слово
не является префиксом слова
.
Теорема. Алфавитный код С()
является однозначно декодируемым тогда
и только тогда, когда в графе
отсутствуют контуры и петли, проходящие
через вершину .
Задачи.
12.1. Выяснить, является ли код С с кодирующим алфавитом {0,1,2} однозначно декодируемым:
С={01, 201, 112, 122, 0112};
C={001, 021, 102, 201, 001121, 01012101};
C={01, 011, 100, 2100, 10110, 00112}.
12.2. Выяснить, является ли слово Р в алфавите {0,1,2} кодом сообщения в кодировании, задаваемом схемой:
Если да, то выяснить, является ли Р кодом ровно одного сообщения:
Р=10120121012100;
Р=1012101201210012;
Р=0121001210201.
12.3. Для кода С найти слово минимальной длины, декодируемое неоднозначно:
С={10, 01, 12, 012, 2100, 12011, 12010};
C={0,101010, 01010101}.
12.4. Построить по методу Хэмминга кодовое слово для сообщения:
=(1011);=(010);
=(10101011).
12.5. По каналу связи передавалось
кодовое слово, построенное по методу
Хэмминга для сообщения
.
После передачи по каналу связи, искажающему
слово не более чем в одном разряде, Было
получено слово
.
Восстановить исходное сообщение:
=(1001110);
=(011110);
=(11011100110).
Литература.
1. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по курсу дискретной математики. – М.: Наука, 1992.
2. Гиндикин С.Г. Алгебра логики в задачах. – М.: Наука, 1972.
3. Дискретная математика и математические вопросы кибернетики. Под ред. С.В. Яблонского. – М.: Наука, 1974.
4. Донской В.И. Дискретная математика. – Симферополь: Сонат, 2000.
5. Лихтарников Л.М., Сукачева Т.Г. Математическая логика. – СПб: Изд-во «Лань», 1998.
6. Мальцев А.И. Алгоритмы и рекурсивные функции. – М.: Наука, 1986.
7. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. – М.: Наука, 1971.
8. Новиков П.С. Конструктивная математическая логика с точки зрения классической. – М.: Наука, 1977.
9. Шенфилд Дж. Математическая логика. – М.: Наука, 1975.
10. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. – М.: Наука, 1986.