Машина Тьюринга

Элементы модели алгоритма:

1. данные;

2. память;

3. правила (инструкции, команды);

4. организация элементарных правил;

5. механизм, который реализует инструкции в соответствии с их организацией.

Основные ограничения на элементы модели:

1. на данные: данные – слова, записанные в некотором конечном алфавите;

2. память: будем считать, что память состоит из одинаковых элементов, каждый из которых может помещать 1 символ алфавита (т.е. память однородна); при этом память может быть бесконечной;

3. набор элементарных правил конечен;

4. механизм реализует каждое правило за счет конечного ресурса (времени); реализация одного правила – шаг, или такт работы алгоритма.

5. Организация правил должна быть такой, чтобы при заданном конечном наборе исходных данных алгоритм получал результат за конечное число шагов.

Задание конкретных элементов модели алгоритма, удовлетворяющих этим ограничениям, определяет конкретную математическую модель, которую можно анализировать средствами математики.

Машины Тьюринга.

Эта модель алгоритма была впервые предложена А.М. Тьюрингом в 1936 г.

Машина Тьюринга имеет 3 алфавита:

1. внешний алфавит с пустым символом (в роли данных – слова в некотором конечном алфавите -внешнем алфавите);

2. внутренний алфавит, или алфавит состояний . Состояние называется заключительным, начальным, а состояния - рабочими состояниями.

3. Алфавит сдвигов .

В конструкции машины имеются:

1) бесконечная лента (разбитая на ячейки), предназначенная для размещения бесконечных записей конечных слов над алфавитом А. В каждой ячейке м.б. записан 1 из символов алфавита А. Пустая ячейка – такая ячейка, в которую помещен некоторый фиксированный символ (пробел, ноль,…). Следовательно, в каждый данный момент времени лента полностью заполнена.

2) механизм – считывающе-записывающее устройство (СЗУ), называемое также читающей/пишущей головкой. СЗУ обладает способностью обозревать одну ячейку ленты, считывать букву, записанную в ячейке, заносить на место считываемой любую другую букву внешнего алфавита; за один такт работы головка может переместиться на 1 ячейку вправо (R) или на 1 ячейку влево (L) и воспринимать новую ячейку или остаться на месте (S).

3) устройство управления (УУ), которое управляет с помощью программы работой машины.

4) программа машины, определяющая переходы машины от одной конфигурации к другой.

Правила работы машины (правила обращения УУ с программой и СЗУ )

Машина работает дискретно (пошагово). На каждом шаге происходит переход от одной конфигурации к другой.

Перед налом работы машина находится в начальной конфигурации: СЗУ обозревает первую букву слова, а машина находится в начальном состоянии . СЗУ считывает букву, находящуюся в обозреваемой ячейке. УУ обращается к программе машины: находит клетку, соответствующую считанной букве и состоянию машины. Пусть в этой клетке находится тройка , тогда буква а заносится обозреваемую ячейку, машина переводится в состояние q, а СЗУ совершает сдвиг на 1 ячейку влево, если , вправо – при , и остается на месте, если . На этом завершена работа машины на первом шаге и она готова к выполнению следующего аналогичного шага. Работа машины продолжается до тех пор, пока на каком-то из шагов машины не придет в состояние . УУ в этом случае останавливает машину. Возникшая конфигурация называется заключительной, а полученное слово – результатом применения машины к исходному слову.

Итак, правила работы машины: : если машина находится в состоянии , головка обозревает ячейку, в которой записан символ . Символ заменяется на , после этого головка делает движение Т и переходит в состояние .

Если u – исходное слово, Т – машина, то через Т(u) обозначают результат.

Опр. Говорят, что МТ неприменима к слову u, если в процессе применения ее к слову она ни на каком из шагов не приходит в заключительное состояние.

Замечания.

1. рассмотрим функции: , ,.

F – функция выхода

G – функция входа

D – функция движения головки.

С использованием этих функций программу для МТ можно представить в виде списка, элементы которого – последовательности вида: .

2) каждому элементу из множества состояний поставим в соответствие вершину, помеченную этим символом. Если есть команда: то из вершины в направим ориентированное ребро с меткой . Тогда программе МТ будет поставлен в соответствие связный ориентированный мультиграф с помеченными ребрами. Он называется диаграммой состояний МТ.

.

Последующее поведение МТ (с некоторого момента времени) полностью определено, если известно:

• состояние МТ в данный момент времени;

• слово, написанное на ленте в данный момент времени;

• положение головки в данный момент времени.

Конфигурация МТ – слово вида , где – состояние МТ, слово, записанное на ленте слева от положения, занятого головкой, слово, записанное на ленте справа от .

Выделяется начальная конфигурация и конечная: .

Пусть есть конфигурация К. Если в ней применить соответствующую инструкцию, возникнет новая конфигурация .

Говорят, что непосредственно получается (выводима) из К.

Пусть есть конфигурации: (каждая следующая выводится из предыдущей): : конф. выводима из .

Если - начальная конфигурация, то последовательность конфигураций называется тьюринговым вычислением

Если есть и , говорят, что данная МТ применима к входному слову .

Если последовательность конфигураций бесконечна, то МТ неприменима к входному слову.

Пример. Пусть программа машины Тьюринга имеет вид: .

Предъявим машине ленту, которую она воспринимает в состоянии , как показано на рисунке:

Работа МТ:

Работа МТ продолжается бесконечно, т.е. МТ неприменима к входному слову.