6. Функции k-значной логики Основные понятия

Пусть Е_k ={0,1,...,k-1}. Функция называется функцией k-значной логики, если на всяком наборе значений переменных , где , значение также принадлежит множеству Е_k. Совокупность всех функций k-значной логики обозначается P_k.

,

Элементарные функции k-значной логики:

константы 0,1,...,k-1 ;

отрицание Поста: (mod k); отрицание Лукашевича: ~x = (k-1)-x;

характеристические функции числа i:

минимум x и y: min(x,y); максимум x и y: max(x,y);

сумма по модулю k: x+y(mod k); произведение по модулю k: x y(mod k);

усеченная разность:

импликация:

функция Вебба: v_k (x,y) = max(x,y)+1 (mod k);

разность по модулю k:

Функции min, max, + , обладают свойствами коммутативности и ассоциативности. Кроме того, справедливы соотношения:

Вводятся по определению:

Любую функцию из Р_k можно представить в первой форме:

.

Любую функцию из Р_k можно представить во второй форме:

,

где сложение и умножение берется по modk.

ЗАДАЧИ

6.1. Подсчитать число функций в Р_k⁽¹⁾, принимающих не более k-1 значений от одной переменной.

6.2. Доказать следующие соотношения:

6.3. Представить функцию I _k-2 (x) в виде суперпозиции функций

6.4. Доказать справедливость следующих соотношений:

6.5. Представить функцию f первой форме:

Полные системы функций:

система Поста: { };

система Россера-Туркетта:{ }.

6.6. Cведением к заведомо полным системам доказать полноту систем функций:

1) { }; 2) { };

3) {1, x²-y, min(x,y)}; 4) {k-2, x+y, (~x) 2y}

6.7. Доказать, что функция Вебба обладает свойством: [{v _k(x,y)}] = P_k .

6.8. Является ли полной в Р_k система функций

6.9.Выяснить, полна ли в Р₃ система:

7. Производящие функции

Основные понятия.

С каждой последовательностью можно связать ряд , который называется производящей функцией для последовательности В тех случаях, когда ряд сходится к некоторой функции f(t), функцию f(t) называется производящей для Пусть A(t), B(t) — производящие функции для соответственно, а — константы. Тогда

ЗАДАЧИ

7.1. Найти производящую функцию f(t) для последовательности если:

7.2. Найти общий член последовательности, для которой функция A(t) является производящей:

8. Ограниченно-детерминированные функции Основные понятия

Пусть А — непустой конечный алфавит. Элементы алфавита называются буквами или символами. Последовательность символов из алфавита А называется словом. Количество символов в слове называется длиной слова. Множество всех слов длины s в алфавите А обозначим через . Пустое слово (длины 0) обозначается , бесконечное слово — , т.е. множество всех символов , где

Слово w, полученное приписыванием справа слова w₂ к слову w₁, называется соединением слов. Слова w₁ и w₂ называются префиксом и суффиксом слова w соответственно.

Пусть А и В — конечные непустые алфавиты. Отображение: называется детерминированной функцией (оператором), если:

а) для всякого s>0 s-й символ y(s) слова является однозначной функцией первых s символов x(1),...,x(s) слова ;

б) если у слов и префиксы длины s совпадают, то совпадают также префиксы у слов и .

Удобно считать, что детерминированная функция реализуется некоторым дискретным устройством (автоматом), работающим в дискретные моменты времени t=1,2,..., когда на вход автомата подается сигнал x(t), а на выходе появляется сигнал y(t). Слова называются входными, — выходными.

Графическим изображением детерминированной функций является информативное дерево. Количество классов эквивалентных поддеревьев в информативном дереве называется весом детерминированной функции.

Детерминированная функция называется ограниченно - детерминированной функцией (о.д.ф.), если она имеет конечный вес. О.д.ф. может быть представлена диаграммой Мура, каноническими уравнениями, таблицами и схемами.

П роцесс вычисления на основании диаграмм Мура может быть истолкован следующим образом:

в момент времени t-1 вычислительный процесс находился в состоянии

q(t-1), при наступлении момента времени t, мы переместимся по дуге x(t) в состояние q(t) на диаграмме Мура и получим выходное значение y(t). Следовательно, пара значений (q(t-1),x(t)) определяет пару значений (q(t),y(t)), где

x(t) — значение аргумента на шаге t,

y(t) — значение функции,

q(t) — номер класса эквивалентности.

Утверждение. Любую о.-д. функцию можно представить в виде системы канонических уравнений

, t=1,2,…,

Элементом единичной задержки называется ограниченно-детерминированный оператор , задаваемый системой:

ЗАДАЧИ

8.1. Является ли детерминированной функцией отображение

:

т.е.

при любом входном слове

т.е.

и

8.2. Для заданной функции , принадлежащей множеству ,

построить фрагмент нагруженного дерева, содержащий первые s ярусов:

1) и s=3;

2) и s=4;

3) s=3.

— последовательность цифр двоичного представления дробной части a.

8.3. Является ли функция ограниченно-детерминированной и найти ее вес:

8.4. Построить диаграмму Мура, каноническую таблицу и канонические уравнения для функции:

8.5. Найти вес о.д.функции, заданной каноническими уравнениями:

1) 2)

3) 4)

8 .6. Доопределить частичную диаграмму таким образом, чтобы диаграмме

соответствовала о.-д. функция, указанного веса r:

r=2 r=2 r=2

8.7. Для суперпозиции ограниченно-детерминированных функций

построить канонические уравнения и диаграммы Мура:

1. 

2. 

3. 

8.8. Построить канонические уравнения и диаграммы Мура о.-д. функции, получающейся из функции f введением обратной связи по переменным :

1. 2) 3)

8.9. Найти вес о.-д.ф., получающейся из о.-д.ф. f с помощью операции отождествления входных переменных (операция О₁):

1) 2 )

8.10. О.-д. функции и имеют веса, равные и соответственно. Может ли вес суперпозиции быть:

а) больше ; б) больше ; в) больше + ?

8.11. Доказать полноту системы функций из относительно совокупности операций , если:

8.12. Реализовать оператор схемой над множеством, состоящим из элемента единичной задержки и оператора, порожденного штрихом Шеффера:

8.13. Реализовать оператор схемой над множеством, состоящим из элемента единичной задержки и оператора, порожденного стрелкой Пирса: