6. Функции k-значной логики Основные понятия

Пусть Е_k={0,1,...,k-1}. Функцияназывается функциейk-значной логики, если на всяком наборезначений переменных, где, значениетакже принадлежит множествуЕ_k. Совокупность всех функцийk-значной логики обозначаетсяP_k.

,

Элементарные функции k-значной логики:

константы0,1,...,k-1 ;

отрицание Поста:(modk); отрицание Лукашевича: ~x= (k-1)-x;

характеристические функции числаi:

минимум xиy: min(x,y);максимум xиy: max(x,y);

сумма по модулюk:x+y(modk);произведение по модулюk:x y(mod k);

усеченная разность:

импликация:

функция Вебба:v_k(x,y) = max(x,y)+1 (modk);

разность по модулю k:

Функции min, max, + ,обладают свойствами коммутативности и ассоциативности. Кроме того, справедливы соотношения:

Вводятся по определению:

Любую функцию из Р_kможно представить в первой форме:

.

Любую функцию из Р_kможно представить во второй форме:

,

где сложение и умножение берется по modk.

ЗАДАЧИ

6.1. Подсчитать число функций вР_k⁽¹⁾, принимающих не болееk-1 значений от одной переменной.

6.2. Доказать следующие соотношения:

6.3. Представить функциюI _k-2(x) в виде суперпозиции функций

6.4. Доказать справедливость следующих соотношений:

6.5. Представить функцию fпервой форме:

Полные системы функций:

система Поста: {};

система Россера-Туркетта:{}.

6.6. Cведением к заведомо полным системам доказать полноту систем функций:

1) {}; 2) {};

3) {1, x²-y, min(x,y)}; 4) {k-2,x+y, (~x)2y}

6.7. Доказать, что функция Вебба обладает свойством: [{v _k(x,y)}] =P_k.

6.8. Является ли полной вР_kсистема функций

6.9.Выяснить, полна ли вР₃система:

7. Производящие функции

Основные понятия.

С каждой последовательностью можно связать ряд, который называетсяпроизводящей функциейдля последовательностиВ тех случаях, когда рядсходится к некоторой функцииf(t), функциюf(t) называется производящей дляПустьA(t),B(t) — производящие функции длясоответственно, а— константы. Тогда

ЗАДАЧИ

7.1. Найти производящую функциюf(t) для последовательностиесли:

7.2. Найти общий членпоследовательности, для которой функцияA(t) является производящей:

8. Ограниченно-детерминированные функции Основные понятия

Пусть А— непустой конечный алфавит. Элементы алфавита называются буквами или символами. Последовательность символов из алфавитаАназываетсясловом. Количество символов в слове называетсядлинойслова. Множество всех словдлиныsв алфавитеАобозначим через. Пустое слово (длины 0) обозначается, бесконечное слово —, т.е. множество всех символов, где

Слово w, полученное приписыванием справа словаw₂к словуw₁, называетсясоединением слов. Словаw₁иw₂называютсяпрефиксомисуффиксомсловаwсоответственно.

Пусть А иВ— конечные непустые алфавиты. Отображение:называетсядетерминированной функцией(оператором), если:

а) для всякого s>0s-й символy(s) словаявляется однозначной функцией первыхsсимволовx(1),...,x(s) слова;

б) если у слов ипрефиксы длиныsсовпадают, то совпадают также префиксы у слови.

Удобно считать, что детерминированная функция реализуется некоторым дискретным устройством (автоматом), работающим в дискретные моменты времениt=1,2,..., когда на вход автомата подается сигналx(t), а на выходе появляется сигналy(t). Слованазываютсявходными,—выходными.

Графическим изображением детерминированной функций является информативное дерево. Количество классов эквивалентных поддеревьев в информативном дереве называется весомдетерминированной функции.

Детерминированная функция называется ограниченно - детерминированнойфункцией (о.д.ф.), если она имеет конечный вес. О.д.ф. может быть представлена диаграммой Мура, каноническими уравнениями, таблицами и схемами.

Процесс вычисления на основании диаграмм Мура может быть истолкован следующим образом:

в момент времени t-1 вычислительный процесс находился в состоянии

q(t-1), при наступлении момента времениt, мы переместимся по дугеx(t) в состояниеq(t) на диаграмме Мура и получим выходное значениеy(t). Следовательно, пара значений (q(t-1),x(t)) определяет пару значений (q(t),y(t)), где

x(t) — значение аргумента на шагеt,

y(t) — значение функции,

q(t) — номер класса эквивалентности.

Утверждение. Любую о.-д. функцию можно представить в виде системы канонических уравнений

, t=1,2,…,

Элементом единичной задержки называется ограниченно-детерминированный оператор , задаваемый системой:

ЗАДАЧИ

8.1. Является ли детерминированной функцией отображение

:

т.е.

при любом входном слове

т.е.

и

8.2. Для заданной функции, принадлежащей множеству,

построить фрагмент нагруженного дерева, содержащий первые sярусов:

1) иs=3;

2) иs=4;

3) s=3.

— последовательность цифр двоичного представления дробной частиa.

8.3. Является ли функция ограниченно-детерминированной и найти ее вес:

8.4. Построить диаграмму Мура, каноническую таблицу и канонические уравнения для функции:

8.5. Найти вес о.д.функции, заданной каноническими уравнениями:

1)2)

3)4)

8.6. Доопределить частичную диаграмму таким образом, чтобы диаграмме

соответствовала о.-д. функция, указанного веса r:

r=2 r=2 r=2

8.7. Для суперпозицииограниченно-детерминированных функций

построить канонические уравнения и диаграммы Мура:

1. 

2. 

3. 

8.8. Построить канонические уравнения и диаграммы Мура о.-д. функции, получающейся из функцииf введением обратной связи по переменным:

1. 2) 3)

8.9. Найти вес о.-д.ф., получающейся из о.-д.ф.fс помощью операции отождествления входных переменных(операцияО₁):

1) 2)

8.10. О.-д. функциииимеют веса, равныеисоответственно. Может ли вес суперпозиции быть:

а) больше ; б) больше; в) больше+?

8.11. Доказать полноту системы функцийизотносительно совокупности операций, если:

8.12. Реализовать операторсхемой над множеством, состоящим из элемента единичной задержки и оператора, порожденного штрихом Шеффера:

8.13. Реализовать операторсхемой над множеством, состоящим из элемента единичной задержки и оператора, порожденного стрелкой Пирса: