9. Машины тьюринга Основные понятия

Машина Тьюрингапредставляет собой абстрактное устройство, состоящее из ленты, управляющего устройства, считывающей головки. Лента разбита на ячейки, в которые заносится один символ внешнего алфавита, а также пустой символ. Управляющее устройство в каждый момент времени может находиться в одном из cостояний из множества(внутреннего алфавита). Считывающая головка может перемещаться вдоль ленты, считывать содержимое обозреваемой ячейки, записывать в нее новый символ и совершать движение.

Работа управляющего устройства характеризуется тремя функциями:

где G— функция переходов,F— функция выходов,D— функция движений (S— отсутствие движения,L— движение влево,R— движение вправо).

Функции G,F,Dмогут быть заданыкомандами:. Совокупность всех команд, определяющих работу машины Тьюринга, называетсяпрограммой.Конфигурациеймашины называется словоКонфигурация, соответствующая началу работы, называетсяначальной. Если некоторое состояниеявляется заключительным, то машина прекращает работу (достигает заключительной конфигурации). Если начав работу на словеР, машинаТостановится за конечное число шагов, то говорят, что машинаприменима к словуР, и результатом применения машиныТк словуРявляетсяТ(Р). В противном случае машинаТне применимак словуР.

Пусть , — произвольный набор целых неотрицательных чисел. Словоназывается основным машинным кодом набора в алфавите {0,1} и обозначается.

Функция называетсячастичной числовой функцией, еслии в том случае, когда на наборефункцияопределена,

Частичная функция называется вычислимой (по Тьюрингу), если существует машинаТ, такая, что

а) если определено, то;

б) если не определено, то либоне является кодом числа изN, либоне применима к слову.

Говорят, что машина Т правильно вычисляетфункциюесли:

а) определено,и головка в заключительный момент обозревает левую единицу кода;

б) не определено, машинаТне останавливается.

ЗАДАЧИ

9.1.Выяснить, применима ли машинаТ, заданная программойП, к словуР:

1)

9.2. По заданной машине ТьюрингаТ и начальной конфигурацииКнайти заключительную конфигурацию

T	0			а) ;
	1			б) .

9.3. Построить в алфавите {0,1} машину Тьюринга, переводящую конфигурациюК₁в конфигурациюК₀ :

9.4. Показать, что для каждой машины Тьюринга существует эквивалентная ей машина, программа которой не содержит символаS.

9.5. Построить машину Тьюринга, вычисляющую функциюf:

9.6. Построить нормальный алгоритм и машину Тьюринга для сложения целых неотрицательных чисел, не превосходящих 9.

9.7. Построить машину Тьюринга, правильно вычисляющую функциюf:

10. Классы вычислимых и рекурсивных функций

Основные понятия.

Суперпозициейфункцийназывается функция

определенная на всех наборах на которых определена каждая функцияg_i

(i=1,...,m) и, кроме того, функцияfопределена на наборе

Примитивно рекурсивнойназывается функцияf_n, полученная из функций

g^(n-1), h⁽ⁿ⁺¹⁾с помощьюсхемы примитивной рекурсиипо переменнымx_n, x_n+1

В частности, при n=1,g=const=aNи

Говорят, что функция g⁽ⁿ⁾получена изf⁽ⁿ⁾с помощьюоперацииминимизациипо переменнойx_n : g=Mf=_y(f(x₁,...,x_n-1,y)=x_n) следующим образом: если уравнениеf(₁,...,_n-1,y)=_nимеет решениеy_oNи при всехyN, 0y<y_o функцияf(₁,...,_n-1,y) определена и ее значения отличны от_n ,то полагаютиначене определена.

Операции MиRприменяются по любым переменнымx_i (i=1,...,n) (следует указывать, по каким именно).

Простейшими называют следующие функции:

1) s(x)=x+1 — функция следования,

2) o(x)0 — нулевая функция,

3) — селекторная функция.

Класс Р_првсех примитивно рекурсивных функций есть множество всех функций, которые могут быть получены из простейших с помощью операцийSиR.

Класс Р_чрвсех частично рекурсивных функций есть множество всех функций, которые могут быть получены из простейших с помощью операцийS, MиR.

Класс Р_орвсех общерекурсивных функций есть множество всюду определенных частично рекурсивных функций.

Очевидно, Р_орР_чркР_прР_ор, т.е.Р_прР_орР_чр

Класс Р_ввсех частичных числовых функций, вычислимых на машине Тьюринга. Можно показать, чтоР_чр=Р_в.

ЗАДАЧИ

10.1. Применить операцию примитивной рекурсии к функциямg(x₁),h(x₁,x₂,x₃) по переменнымx₂,x₃. Функциюf(x₁,x₂)=R(g,h) записать в “аналитической” форме.

10.2. Доказать примитивную рекурсивность следующих функций:

10.3. Применить операцию минимизации к функцииfпо переменнойx_i. Функциюg=Mfпредставить в аналитической форме

10.4. Применив операцию минимизации к подходящей примитивно-рекурсивной функции, доказать, чтоfявляется частично рекурсивной

10.5. Справедливо ли соотношение

10.6. Образует ли множествоMполную систему относительно совокупности операцийOв классеP_чр

1) M=P_чр\P_пр,O={R,}; 2)M=P_чр\P_ор,O={s}.