3. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы. Полиномы жегалкина Основные понятия

Формула (формула ), где для всех — называется конъюнкцией (дизъюнкцией) над множеством переменных .

Конъюнкция (дизъюнкция) называется элементарной (э.к., э.д.), если при jk. Выражения вида будут называться буквами (литера-лами). Число символов (букв) в э.к. (э.д.) называется рангом э.к. (э.д.).

Формула вида D= , где – элементарные конъюнкции, называется дизъюнктивной нормальной формой (д.н.ф.).

Формула вида K= , где – дизъюнкции, называется конъюнктивной нормальной формой (к.н.ф.). Число s называется длиной д.н.ф. (к.н.ф.).

Д.н.ф. называется совершенной, если она составлена из попарно различных элементарных конъюнкций ранга n.

Элементарная конъюнкция называется монотонной, если она не содержит отрицаний переменных.

Формула , где – попарно различные монотонные элементарные конъюнкции, а , называется полиномом Жегалкина или полиномом по модулю 2. Наибольший из рангов э.к., входящих в полином, называется степенью этого полинома, число s называется длиной полинома.

ЗАДАЧИ

3.1. С помощью эквивалентных преобразований привести к д.н.ф. формулу:

3.2. Представить в виде совершенной д.н.ф. следующие функции:

3.3. С помощью преобразований вида перейти от заданной д.н.ф. к совершенной:

3.4. Подсчитать число функций, для которых совершенная к.н.ф. является одновременно и д.н.ф.

3.5. Представить в виде совершенной к.н.ф. функцию

3.6. Показать, что если в совершенной д.н.ф. знак V всюду заменить на , то получится формула,

эквивалентная исходной.

3.7. Доказать, что для любой ф.а.л. существует единственное разложение в полином Жегалкина.

3.8. Является ли линейной функция

3.9. Представить в виде полинома Жегалкина ф.а.л. :

3.10. Показать, что функция, реализуемая многочленом степени k>0, обращается в 1 не менее чем на векторах

из .

3.11. Разложить по переменной , применяя формулы

,

и представить в совершенной к.н.ф. и совершенной д.н.ф. функции:

3.12. Представить в совершенной к.н.ф. компоненты функции ,

рассматривая их как функции, зависящие только от «оставшихся» переменных.

3.13. Доказать, что если для , то .

3.14. Найти длину совершенной д.н.ф. функции:

3.15. Показать, что x является существенной переменной функции f тогда и только тогда, когда x явно входит

в полином Жегалкина функции f.

4. Минимизация булевых функций Основные понятия

Допустимой конъюнкцией или импликантом функции называется элементарная конъюнкция К над множеством переменных , такая, что . Импликант К функции называется простым импликантом, если после отбрасывания любой буквы из К получается э.к., не являющаяся импликантом функции .

Дизъюнкция всех простых импликантов функции называется сокращенной д.н.ф. функции . Д.н.ф. называется: минимальной, если она имеет наименьшее число букв среди эквивалентных ей д.н.ф.; кратчайшей, если она имеет наименьшую длину среди эквивалентных ей д.н.ф.; тупиковой, если отбрасывание любого слагаемого или буквы приводит к неэквивалентной д.н.ф. Если э.к. K является импликантом функции , то множество = образует грань, содержащуюся в множестве = = . Эта грань является интервалом функции , соответствующим импликанту K. Интервал функции , не содержащийся ни в каком другом интервале, называется максимальным интервалом. Максимальные интервалы соответствуют простым импликантам функции .

Метод Блейка получения сокращенной д.н.ф. из произвольной д.н.ф. состоит в применении правил обобщенного склеивания = и поглощения . Правила применяются слева направо. Сперва производятся операции обобщенного склеивания, пока это возможно, на втором — операции поглощения. Для построения сокращенной д.н.ф. можно использовать геометрический или табличный методы (с помощью минимизирующей карты).

ЗАДАЧИ

4.1. С помощью метода Блейка построить сокращенную д.н.ф. функций:

4.2. Построить сокращенную д.н.ф. по заданной к.н.ф.:

4.3. Используя геометрический метод, построить сокращенную д.н.ф. функции:

1) ; 2) ;

3) .

4.4. С помощью минимизирующей карты построить сокращенную д.н.ф. функции

4.5. Используя метод Блейка, построить сокращенную д.н.ф. функции

4.6. Используя табличный метод минимизации, найти минимальную д.н.ф. функции из задачи 4.5.

4.7. Выяснить, являются ли тупиковыми, кратчайшими или минимальными следующие д.н.ф.:

4.8. Перечислить существенные переменные следующих функций:

4.9. Показать, что x₁ является фиктивной переменной функции f (выразив f формулой, в которую x₁ не входит явно):

4.10. Показать, что x является существенной переменной функции f тогда и только тогда, когда эта переменная

явно входит в сокращенную д.н.ф. функции f.

4.11. Показать, что переменная x является существенной переменной функции f тогда и только тогда, когда x явно

входит в полином Жегалкина функции f.

4 .12. Построить сокращенную д.н.ф. для функции, заданной таблицей

а) б)

4.13. Построить все тупиковые д.н.ф. функции