2. Функции алгебры логики

Основные понятия

Функция f( ), определенная на множестве Bⁿ и принимающая значения из множества {0,1}, называется функцией алгебры логики или булевой функцией. Множество всех булевых функций обозначается P₂ .

Функциональные символы: & - конъюнкция,  - сумма по модулю 2,  - импликация, V - дизъюнкция, ~ - эквивалентность, - штрих Шеффера,  - стрелка Пирса называются логическими связками.

Элементарные булевы функции:

- одной переменной:

X	0	1			0 - тождественный ноль 1 - тождественная единица
0	0	1	1		x - тождественная функция
1	0	1	0		- инверсия (отрицание)

- двух переменных:

x	y	x&y	xVy	xy	x~y	xy	xy	xy
0	0	0	0	0	1	1	1	1
0	1	0	1	1	0	1	1	0
1	0	0	1	1	0	0	1	0
1	1	1	1	0	1	1	0	0

Функция из P₂ зависит существенным образом от аргумента , если существуют такие значения переменных , что . В этом случае переменная называется существенной. Если не является существенной переменной, то она называется фиктивной.

Формулой над множеством функциональных символов Ф называется вся-кое (и только такое) выражение вида: 1) и , где – нуль-местный, а — n-местный функциональные символы и – символы переменных; 2) , где — s-местный функциональный символ и — либо формула над Ф, либо символ переменной.

Формула называется тождественно истинной (тождественно ложной), если реализуемая ею функция равна 1 (соответственно 0).

Функция , равная , называется двойственной функцией к функции .

Принцип двойственности: если формула реализует функцию , то формула реализует функцию .

Основные тождества

x* y=y*x — коммутативность любой операции * из {&,V,,~,, }

(x * y) * z = x * (y * z) — ассоциативность любой операции * из {&,V, ,~}

= и = — тождества де Моргана

x V (x & y) = x и x & (x V y) = x — правила поглощения

и

дистрибутивность:

x & (y V z) = (x & y) V (x & z) — конъюнкции относительно дизъюнкции

x V (y & z) = (x V y) & (x V z) — дизъюнкции относительно конъюнкции

x & (y  z) =(x & y)  (x & z) — конъюнкции относительно сложения

0 = x & = x & 0 = x  x , x = = x V x = x &x = x &1 = x V 0

1 = x V = x V1 = x~ x , = x1, x~ y=(x  y) 1

ЗАДАЧИ

2.1. Выяснить, какие из перечисленных выражений являются формулами:

2.2. Какие из перечисленных формул являются тождественно истинными или тождественно ложными:

2.3. Эквивалентны ли формулы

2.4. Проверить, справедливы ли следующие соотношения

1) x V (y ~ z) = (x V y) ~ (x V z); 2) x  (y ~ z) = (x  y) ~ (x  z);

3) x  (y & z) = (x  y) & (x  z); 4) x (y  z) = (x  y)  (x  z).

2.5. Реализовать функцию f формулой над множеством связок S, если

1) f = xy, S={ ,V}; 2) f = x V y , S={};

3) f = x ~ y , S={&,}; 4) f = xy , S={}.

2.6. Используя основные эквивалентности, доказать эквивалентность

формул U и B, когда:

2.7. Показать, что формула U эквивалентна формуле B тогда и только тогда, когда тождественно истина ровно

одна из формул

2.8. Используя принцип двойственности, построить формулу, реализующую функцию, двойственную функции

2.9. Перечислить все существенные и фиктивные переменные функции: