2. Функции алгебры логики

Основные понятия

Функция f(),определенная на множествеBⁿи принимающая значения из множества {0,1}, называется функцией алгебры логики илибулевой функцией. Множество всех булевых функций обозначаетсяP₂.

Функциональные символы: & - конъюнкция, - сумма по модулю 2,- импликация, V - дизъюнкция, ~ - эквивалентность,- штрих Шеффера,- стрелка Пирса называютсялогическими связками.

Элементарные булевы функции:

- одной переменной:

X	0	1			0 - тождественный ноль 1 - тождественная единица
0	0	1	1		x- тождественная функция
1	0	1	0		- инверсия (отрицание)

- двух переменных:

x	y	x&y	xVy	xy	x~y	xy	xy	xy
0	0	0	0	0	1	1	1	1
0	1	0	1	1	0	1	1	0
1	0	0	1	1	0	0	1	0
1	1	1	1	0	1	1	0	0

Функция изP₂зависит существенным образом от аргумента, если существуют такие значенияпеременных, что. В этом случае переменнаяназывается существенной. Еслине является существенной переменной, то она называется фиктивной.

Формулойнад множеством функциональных символовФназывается вся-кое (и только такое) выражение вида: 1)и, где– нуль-местный, а—n-местный функциональные символы и– символы переменных; 2), где—s-местный функциональный символ и— либо формула надФ, либо символ переменной.

Формула называется тождественно истинной (тождественно ложной), если реализуемая ею функция равна 1 (соответственно 0).

Функция , равная, называется двойственной функцией к функции.

Принцип двойственности: если формулареализует функцию, то формулареализует функцию.

Основные тождества

x* y=y*x— коммутативность любой операции * из {&,V,,~,,}

(x * y) * z = x * (y * z) — ассоциативность любой операции * из {&,V,,~}

= и= — тождества де Моргана

xV (x& y) = xиx & (xVy) = x— правила поглощения

и

дистрибутивность:

x & (yVz) = (x & y) V (x& z) — конъюнкции относительно дизъюнкции

xV (y& z) = (xV y) & (x V z) — дизъюнкции относительно конъюнкции

x & (yz) =(x & y)(x & z) — конъюнкции относительно сложения

0 = x & = x & 0 = x  x,x == x Vx = x &x = x &1 = x V 0

1 = x V = x V1 = x~ x , = x1, x~ y=(x  y)1

ЗАДАЧИ

2.1. Выяснить, какие из перечисленных выражений являются формулами:

2.2. Какие из перечисленных формул являются тождественно истинными или тождественно ложными:

2.3. Эквивалентны ли формулы

2.4. Проверить, справедливы ли следующие соотношения

1) x V (y ~ z) = (x V y) ~ (x V z); 2) x  (y ~ z) = (x  y) ~ (x  z);

3) x  (y & z) = (x  y) & (x  z); 4) x (y  z) = (x  y)  (x  z).

2.5. Реализовать функциюfформулой над множеством связокS, если

1) f = xy, S={ ,V}; 2) f = x V y , S={};

3) f = x ~ y , S={&,}; 4)f = xy , S={}.

2.6. Используя основные эквивалентности, доказать эквивалентность

формул UиB, когда:

2.7. Показать, что формулаUэквивалентна формуле Bтогда и только тогда, когда тождественно истина ровно

одна из формул

2.8. Используя принцип двойственности, построить формулу, реализующую функцию, двойственную функции

2.9. Перечислить все существенные и фиктивные переменные функции: