10. Классы вычислимых и рекурсивных функций

Основные понятия.

Суперпозицией функций называется функция

определенная на всех наборах на которых определена каждая функция g_i

(i=1,...,m) и, кроме того, функция f определена на наборе

Примитивно рекурсивной называется функция f_n, полученная из функций

g^(n-1) , h⁽ⁿ⁺¹⁾ с помощью схемы примитивной рекурсии по переменным x_n, x_n+1

В частности, при n=1, g=const=aN и

Говорят, что функция g⁽ⁿ⁾ получена из f⁽ⁿ⁾ с помощью операции минимизации по переменной x_n : g=Mf=_y(f(x₁,...,x_n-1,y)=x_n) следующим образом: если уравнение f(₁,...,_n-1,y)=_n имеет решение y_oN и при всех yN, 0y<y_o функция f(₁,...,_n-1,y) определена и ее значения отличны от _n , то полагают иначе не определена.

Операции M и R применяются по любым переменным x_i (i=1,...,n) (следует указывать, по каким именно).

Простейшими называют следующие функции:

1) s(x)=x+1 — функция следования,

2) o(x)0 — нулевая функция,

3) — селекторная функция.

Класс Р_пр всех примитивно рекурсивных функций есть множество всех функций, которые могут быть получены из простейших с помощью операций S и R.

Класс Р_чр всех частично рекурсивных функций есть множество всех функций, которые могут быть получены из простейших с помощью операций S, M и R.

Класс Р_ор всех общерекурсивных функций есть множество всюду определенных частично рекурсивных функций.

Очевидно, Р_орР_чр к Р_прР_ор, т.е. Р_прР_орР_чр

Класс Р_в всех частичных числовых функций, вычислимых на машине Тьюринга. Можно показать, что Р_чр=Р_в.

ЗАДАЧИ

10.1. Применить операцию примитивной рекурсии к функциям g(x₁), h(x₁,x₂,x₃) по переменным x₂,x₃. Функцию f(x₁,x₂)=R(g,h) записать в “аналитической” форме.

10.2. Доказать примитивную рекурсивность следующих функций:

10.3. Применить операцию минимизации к функции f по переменной x_i. Функцию g=Mf представить в аналитической форме

10.4. Применив операцию минимизации к подходящей примитивно-рекурсивной функции, доказать, что f является частично рекурсивной

10.5. Справедливо ли соотношение

10.6. Образует ли множество M полную систему относительно совокупности операций O в классе P_чр

1) M=P_чр\P_пр, O={R,}; 2) M=P_чр\P_ор, O={s}.

11. Основные понятия теории графов.

Основные понятия:

Пусть V — непустое множество, X — набор пар элементов из V. В наборе X могут встречаться пары, состоящие из одинаковых элементов, а также одинаковые пары. Множество V и набор X определяют граф с кратными ребрами G=(V,X). Элементы множества V называются вершинами графа, а элементы набора X — ребрами графа.

Если x=(u,v) — ребро графа, то вершины u и v называются концами ребра x. Если вершина v является концом ребра x, то говорят, что v и x — инцидентны.

Вершины u и v графа называются смежными, если существует ребро графа, соединяющее их. Два ребра называются смежными, если они имеют общую вершину. Степенью вершины v (обозначения deg(v)) называется число ребер графа, инцидентных вершине v.

Последовательность

, (*)

в которой чередуются вершины и ребра и при этом для каждого i=1,…,n-1 ребро имеет вид , называется маршрутом, соединяющим вершины и . Число ребер в маршруте называется его длиной.

Маршрут, в котором все ребра разные, называется цепью. Маршрут, в котором все вершины разные, называется простой цепью. Маршрут (*) называется замкнутым, если = . Замкнутый маршрут, в котором все ребра различные, называется циклом. Цикл, в котором все вершины, кроме первой и последней, разные, называется простым циклом.

Граф называется связным, если для любых двух различных его вершин существует цепь (маршрут, простая цепь), соединяющая их. Расстоянием между вершинами связного графа называется длина кратчайшей цепи, соединяющей эти вершины.

Подграфом графа G называется граф, все вершины и ребра которого содержатся среди вершин и ребер графа G. Подграф называется собственным, если он отличен от самого графа. Компонентой связности графа G называется его связный подграф, не являющийся собственным подграфом никакого другого связного подграфа графа G. Остовным называется граф, содержащий все вершины графа. Графы G=(V,X) и H=(U,Y) изоморфны, если существуют такие два взаимно однозначных соответствия , что для всякого ребра справедливо соотношение .

Двудольным называется граф, множество вершин которого можно разбить на два непустых подмножества (доли) V₁ и V₂ таким образом, что никакие две вершины из одной и той же доли не являются смежными.

Деревом называется связный граф без циклов.

Теорема Кёнига: Граф является двудольным тогда и только тогда, когда в нем отсутствуют циклы нечетной длины.