Множества. Основные понятия. Способы задания.

Создатель теории множеств – Кантер(немец). Под множеством Кантер понимал скопления различных и определенных предметов, мыслимых как единое целое. Предметы, из которых состоят множества, зовут элементами множества. Слово определенный говорит о том, что если мы имеем множество и некоторый предмет, то всегда можно определить, принадлежит он множеству или нет. Слово различимый говорит о том, что если мы имеем два элемента множества, то всегда можно сказать, одинаковы они или нет. Но самое главное, что множество элементов, составляющих множество, мыслится как единое целое. Само множество может быть элементом другого множества. Что касается элементов множества, то они могут быть любой природы. Множества могут быть конечными или бесконечными. И вообще мы можем не знать количество элементов в множестве. Если элементами множества являются числа, то го зовут числовым. Множество изображается заглавными буквами, а его элементы – прописными. Некоторые определенные множества имеют определенные названия: N- множество натуральных чисел, Z- целых, Q- рациональных, I- иррациональных, R- действительных чисел, C- комплексных чисел. aA, aA aA. множество, не содержащее ни одного элемента, зовут пустым, и пишут 0. два множества А и В считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. A={1,2,3}, B={1,1,1,2,2,3,3} – A=B. Множества можно задавать: 1) перечислением элементов A={1,a,b}, 2) с помощью определяющего свойства M={x|x-четные}. Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то А зовут подмножеством В: АВ. Считается, что пустое множество является подмножеством любого множества. Два подмножества множества А – А и 0 – зовут несобственными подмножествами множества А. Все остальные – собственные. Если С – собственное подмножество множества А, то пишут СА.

Операции над множествами.

1) объединение: множество тех элементов х, которые принадлежат хотя бы одному множеству. AB={x|xA или xB} 2) пересечение: общие элементы AB={x|xA и хВ}. 3) разность множеств.A\B={x|xA и xB} 4) симметрическая разность A_B={x|xA, то xB; xВ, то xA}.

Иногда бывает удобно все рассматриваемые множества в некоторой теории считать подмножествами некоторого одного множества, которое в этом случае зовут универсальным U. 5) A- дополнение множества А. Это есть U/A=A

Булева алгебра множеств.

Алгеброй зовут некоторое множество с введенными на нем операциями: A=<M,12…n>, где М- носитель, - операции.

Школьная алгебра: A=<R,+,-,*,/>. Возьмем U: A=<P(U),,, >- булева алгебра.

1) переместительный закон: AÈB=BÈA; AÇB=BÇA;

2) сочетательный закон: AÈ(BÈC)=(AÈB)ÈC; AÇ(BÇC)=(AÇB)ÇC 3) распределительный закон: AÈ(BÇC)=(AÈB)Ç(AÈC); AÇ(BÈC)=(AÇB)È(AÇC); 4) Not(not(A))=A – дополнение дополнения есть само дополнение 5) AÈ0=A; AÇ0=0 6) AÈU=U; AÇU=A; 7) AÈA=A; AÇA=A 8) AÈ`A=U; AÇ`A=0 9) закон поглощения AÈ(AÇB)=A; AÇ(AÈB)=A 10) закон де Моргана: not(AÈB)= `AÇ`B; not(AÇB)= `AÈ`B

Бесконечное множество

Эквивалентность множеств, равномощность

Свойства бесконечных множеств сильно отличаются от свойств конечных. Вещи, не возможные для конечных, становятся возможными для бесконечных множеств.

Как сравнить бесконечное множество по численности элементов? Способы сравнения конечных множеств:

1) пересчитать элементы, 2)можно установить взаимно однозначное соответствие между элементами двух множеств, если оно есть, то число элементов одинаковое; этот способ можно использовать и для бесконечных множеств.

А~В: два множества А и В эквивалентны между собой, если между их элементами можно установить взаимнооднозначное соответствие. Если множества эквивалентны, то говорят, что они имеют одинаковую мощность, или равномощны. |A| = |B|

Т.о. понятие мощность является обобщением понятия одинаковой численности для конечных множеств.

Пример: 1) N(натуральные)~Ч(четные); N={1,2,3,4…,n,…}, Ч={2,4,6,8…,2n,…}; nN, чÎЧ => ч=2n

2) [a,b]~[c,d] – отрезки; a↔b c↔d;

xÎ [a,b] x→y

yÎ [c,d] y→x

y=((d-c)/(b-a))(x-a)+c

3) (0,1)~[0,1] x_n↔x_n+2

4) (0,1)~(-∞;+ ∞) y=tg((π/2)*(2x-1)); => [a,b]~(a,b)~ (-∞;+ ∞) => в любом отрезке столько же точек, сколько во всей прямой.

5) (0,1)~ ед.квадрат

А – любая точка квадрата А(х,у)

х = 0,α₁, α₂, α₃, α₄,…

y = 0,β₁, β₂, β₃, β₄,…

A→BÎ (0,1) B(0, α₁, β₁, α₂, β₂, α₃, β₃,…)

C(0,γ₁, γ₂, γ₃, γ₄,…) Î (0,1) → D(x,y) x= 0,γ₁, γ₃,…,y= 0, γ₂, γ₄,… => множество точек прямой эквивалентно множеству точек плоскости, пространства.