Диаметр, радиус, центр графа. Алгоритм их отыскания.

Пусть G не ор-граф. G(V,E). Расстоянием d(u,v) между вершинами u и v называется кратчайшая цепь, соединяющая эти вершины. Очевидно, что эта цепь является простой. (u,v)- геодезическая. Если граф связный, то d(u,v)<, если не связный, то полагают d(u,v)=. Пусть G связный граф, тогда диаметром графа G называется максимальное расстояние d(G)=max d(u,v) | (u,v)V. Зафиксируем вершину u. эксцентриситетом или максимальным удалением l(u) называется максимум d(u,v): l(u)=max d(u,v) | vV. Диаметр- это максимальный эксцентриситет. Назовем радиусом графа r(G) минимальный эксцентриситет: r(G)=min l(u) | uV. Вершины графа, эксцентриситет которых равен радиусу, называются центральными.

Алгоритм отыскания d,r,l: 7 расст-ие 1 2 3 4 5 6 7

1 2

=1 2 1 2 5 3 5 1 4 7 4 3 4 2 4 3 7 3 5 1 6….. 6 =2 3 4 1 6 2 3 4 5 5 5 7 2 1 4 3 6 7 =3 6 6 7 2 5 d(G)=4; r(G)=2 . 1… 3,4- центральные =4 7 6 вершины. l(i) 3 3 2 2 3 4 4

Отыскание кратчайших расстояний на графе.

Расстояние между двумя вершинами – это минимальное число ребер в маршруте. Каждому ребру припишем число Cij. Если Cij=1, то алгоритм даст способ отыскания кратчайшей цепи между парой любых вершин. Рассматривая конкретные практические задачи, Cij может быть любым числом, например, если Cij рассматривать как стоимость пути между i-м и j-м пунктом, то здача о наикратчайшем расстоянии интерпретируется как нахождение пути минимальной стоимости между i-м и j-м пунктами. Графы, каждому ребру которых приписано число Cij, называются нагруженными.

Алгоритм: 1) берется вершина графа и находится наикратчайший путь от этой вершины до всех остальных. 2) затем фиксируют другую вершину и находят расстояние от этой вершины до всех остальных. 1!) выбираем вершину k и считаем, что d⁰(k,j)={0, if k=j; w, if k≠j}, w> Cij. d¹(k,j)=min{d⁰(k,i)+ Cij}, где i- множество вершин, непосредственно предшествующих вершине j. d^(m)(k,j)=min{d^m-1(k,i)+Cij}, iB(j). Алгоритм заканчивает работу, как только d^(m)(k,j)= d^(m-1)(k,j)= d(k,j). Этот алгоритм дает не только кратчайшее расстояние, но и показывает маршрут, по которому нужно двигаться из k-й вершины в j-ю. Этот алгоритм работает как для ор-графов, так и для не ор-графов, но в случае ор-графа может случиться так, что алгоритм закончил работу, а в некоторых вершинах осталось число w, это говорит о том, что данная вершина недостижима из k-й вершины.

Ациклические ориетированные графы. Теорема о существовании его начальной и конечной вершины.

Ациклическим называется ор-граф, не содержащий контуров. Вершину такого графа назовем начальной (конечной), если в нее не входит (не выходит) ни одна дуга.

Теорема (о существовании …): у каждого конечного ациклического графа имеется по крайней мере одна начальная и одна конечная вершина. Доказательство: возьмем вершину Vj и найдем все пути, заканчивающиеся в этой вершине. Т.к. граф конечный и ациклический, то существует самый длинный путь. Обозначим этот путь (V0,V1,V2,…,Vn), тогда вершина V0 является начальной. Действительно, если бы V0 не была бы начальной, то существовала бы дуга (VaV0), и тогда бы путь (V0…Vn) не был бы максимальным. Если заменить направление дуг на противоположное, то свойство ацикличности не нарушится, откуда вытекает доказательство теоремы и о существовании конечной вершины. Ациклический граф, у которого одна начальная и одна конечная вершина, называется направленным. В направленных графах из начальной достижимы все вершины.