Планарность: оновные определения, теорема Эйлера, следствие.

Граф G называется укладываемым на поверхность S, если его можно так нарисовать на этой поверхности, что ребра будут пересекаться только в вершинах. Граф называется планарным, если его можно уложить на плоскости. Всякая укладка на плоскости называется плоским графом. Пример: полный граф К5 никогда не будет плоским. Часть пространства называетс гранью графа, если любые две внутренние точки можно соединить непрерывной линией, которая не пересекает ребер и вершин. Неограниченная часть пространства называется внешней гранью. Если взять дерево, то оно имеет только внешнюю грань. Теорема: Пусть имеем связный плоский граф, у которого n вершин, m ребер и r граней (включая внешние), то n-m+r=2 (1). Эквивалентная теорема: если не выполнимо (1), то граф не является планарным. Доказательство: пусть имеем связный плоский граф. Построим его оставное дерево. У дерева r=1, m=n-1, тогда n-m+r=n-n+1+1=2. Будем восстанавливать дерево. Очевидно, что если мы ребром соединим две концевые точки, то внешняя грань уберется, появляется внутренняя и чесло ребер увеличивается на 1. если соединим две внутренние точки, то число внутренних граней +1 и число ребер +1. Следствие: если каждая грань плоского графа ограничена простым циклом длины p, то p*(n-2)/(p-2). Доказательство: решив систему уравнений {pr=2m; n-m+r=2}, полчим данное уравнение. (стоит проверить). В качестве примера приводится граф с p=3, n=4.

Максимальный плоский граф. Основные соотношения. Геоморфизм. Теорема Понтрягина-Куратовского.

Назовем плоский граф максимальным, если добавление любого ребра не меняет свойства графа быть планарным. Если G максимально плоский граф с n

вершин и m ребер, то каждая его

грань является треугольником,

причем m=3n-6. Если G плоский граф,

у которого каждая грань цикл длины U, то

m=2n-4.

Доказательство: если G содержит грань, не являющуюся треугольником, то найдутся хотя бы 2 не смежные вершины, которые можно соединить ребром, хотя это противоречит тому, что граф максимально плоский. Если G произвольный плоский граф, то m<=3n-6. Если G блок, не содержащий треугольников, то m<=2n-4. Отсюда вытекает, что граф К₅ не является планарным. n=5, m=10 3n-6=9, т.е. граф не является планарным.

Геоморфизм: Разбиением ребра UV называается помещение на ребре транзитивной W, которая делит ребро на два. Если граф G получен из графа Н разбиением, то граф G называется разбиением графа Н. Графы G и H называются геоморфными, если можно осуществить такое разбиение этих графов, что получим изоморфные графы.