- •Множества. Основные понятия. Способы задания.
- •Счетное множество
- •Несчетное множество
- •Существование множеств сколь угодно большой мощности.
- •Отношение на множествах
- •Свойства бинарных отношений на множестве м.
- •Замыкание отношений.
- •Основные булевы функции.
- •Двойственность. Принцип двойственности.
- •Переход от табличного задания функции к аналитическому.
- •Запись бф через сп.(сднф)
- •Построение бф через сс.(скнф)
- •Замкнутость и полнота.
- •Реализация функций многочленом Жегалкина.
- •Запись аналитического выражения функции, заданной таблично, через функцию Шеффера и Пирса.
- •Основные понятия теории графов.
- •Способы задания графов.
- •Подграфы. Операции над графами.
- •Степени вершин графа.
- •Теорема о выделении из всякого замкнутого маршрута (пути) нечетной длины простого цикла (контура) нечетной длины.
- •Нахождение числа маршрутов (путей) через матрицу смежности.
- •Необходимое и достаточное условие существования контура ор-графа.
- •Связность графа. Отыскание компонент связности при графическом задании графа.
- •Отыскание компонент связности (сильной связности) матричным методом.
- •Диаметр, радиус, центр графа. Алгоритм их отыскания.
- •Отыскание кратчайших расстояний на графе.
- •Ациклические ориетированные графы. Теорема о существовании его начальной и конечной вершины.
- •Ранги вершин. Правильная нумерация вершин.
- •Двудольные графы, признак двудольности.
- •Разделяющие вершины и мосты. Теорема о разделяющей вершине. Алгоритм отыскания.
- •Блоки. Достаточный признак. Алгоритм отыскания.
- •Определение дерева. Теорема о связи любых его двух вершин.
- •Задача о минимальном соединеии, алгоритм получения.
- •Планарность: оновные определения, теорема Эйлера, следствие.
- •Максимальный плоский граф. Основные соотношения. Геоморфизм. Теорема Понтрягина-Куратовского.
Подграфы. Операции над графами.
Граф Н называется подграфом графа G, если множество вершин графа Н есть подмножество вершин графа G, и множество ребер графа Н есть подмножество ребер графа G: VH VG EH EG . Подграф Н называется оставным, если множество вершин VH=VG. Говорят, что подграф Н порожден вершинами VH VG, где VH не пустое, если он содержит те и только те дуги(ребра), оба конца которых принадлежат множеству VH. Очевидно, что если мы имеем матрицу смежности, то чтобы получить матрицу смежности подграфа, порожденного какими-то вершинами, нужно вычеркнуть соответствующие строки и столбцы матрицы исходного графа, тогда на пересечении этих строк и столбцов будет находиться матрица смежности графа, порожденного соответствующими вершинами. Это справедливо и для псевдо- и для мультиграфов.
1. добавление ребра x=(Vi,Vj) в графе G. H=G+x, VH=VG, EH=EG{x}= EG{(Vi,Vj)}. Замечание: ребра добавляются только между несмежными вершинами, иначе получим мультиграф.
2. удаление ребра H=G-(Vi,Vj). VH=VG, EH=EG/{(Vi,Vj)}.
3. удаление вершины H=G-Vi, VH=VG/{Vi}, EH=EG/{x| x – ребра, инцидентные Vi)}.
4. объединение графов GH, VHVG, EHÈEG. Обычно полагают, что множества вершин и ребер не пересекаются. В противном случае операция объединения сводится к наложению графов друг на друга.
5. пересечение графов GH. Эта операция полагает, что пересечение вершин – не пустое множество. Тогда получаем граф, у которого пересекаются вершины и пересекаются ребра. VHVG, EHEG.
6. сложение графов G+H, VHVG, EHÈEGÈ{x=(u,v)|uVG, vVH}, т.е. из каждой вершины первого графа строим ребра к каждой вершине второго графа.
Степени вершин графа.
Назовем граф максимальным (минимальным) по отношению к некоторому свойству, если граф обладает этим свойством, и никакой другой граф, полученный из данного прибавлением (удалением) вершины или ребра, этим свойством не обладает. Назовем степенью i-ой вершины графа G((i)) число ребер, инцидентных i-ой вершине.
2 (1)=1- висячая вершина, (4)=2 - 3 транзитивная.
Очевидно, что сумма всех степеней 1 вершин неориентированного графа дает 4 2n, где n- число ребер. Число ребер такого графа N=1/2d(i) (1). Если граф ориентированный, то вводят степень d-(i) – число выходящих дуг из i-ой вершины, и d+(i)- число входящих дуг в i-ю вершину. Для ориентированного графа число ребер N=d-(i)= d+(i). Назовем в неор-графе вершину нечетной, если d(i)- нечетное число, и четной в противном случае. Змечание: для ор-графа рассматриваем d-(i) и d+(i). Теорема: число нечетных вершин графа всегда четно. Доказательство из формулы (1). Если в формуле (1) удалить все четные вершины, то сумма оставшихся вершин все равно делится на 2. Граф называется однородным, если степени вершин одинаковы. Для ор-графа d-= d+. Если степень каждой вершины k, то число ребер равно N={nk/2 – для неор-графа, nk- для ор-графа}. Граф называется полным, если каждая его вершина связана ребром (дугой) со всеми остальными. Очевидно, что это однородный граф, где d(i)=n-1, поэтому полный неор-граф имеет ребер N=n(n-1)/2, а ор-граф – N=n(n-1).
Изоморфизм графов.
Один и тот же граф можно изобразить по-разному. Есть произвол в расположении вершин и линий, их соединяющих. Рассмотрим два графа:
2 1 1 2 3 4 3 1 2 3 4 Два графа G и
1 0 1 0 0 1 4 1 0 0 0 1 H называются
G 2 1 0 1 1 2 0 0 1 1 изоморфными,
3 0 1 0 1 3 0 1 0 1 если
4 0 1 1 0 Н 2 4 1 1 1 0 существует
3 4 биективное отображение его вершин :VGVH, сохраняющее отношение смежности, т.е. дуга (ребро) принадлежит множеству ЕG тогда и только тогда, когда (Vi,Vj)ЕG((Vi),(Vj)) ЕH. Из определения вытекает, что в изоморфных графах одинаковое число вершин, одинаковое число ребер(дуг). Если образ вершины Vi в изоморфном графе Н есть (Vi), то степени их равны. Если две вершины в графе G не смежные, то их образы в графе Н также не смежные. Если графы заданы матицами смежности и они изоморфны, то, производя одинаковые (т.е если переставить местами 1 и 2-ю строки, то нужно переставить 1 и 2 столбцы) перестановки строк и столбцов первого графа, можно получить матрицу изоморфного графа. Чтобы доказать, что графы не изоморфны, нужно выполнить n! перестановок строк и столбцов. Иногда удобней проверит на изоморфность графы через дополнения графов. G- дополнение графа G до полного. Граф G называется дополнением к графу G, если число вершин у них одинаковое (VH=VG), а каждое ребро, если оно Е`G , то оно ЕG. Граф называется самодополнительным, если он изоморфен своему дополнению. Если графы изоморфны, то и их дополнения тоже изоморфны.
Маршруты и пути на графах. Теорема о выделении простого маршрута (пути).
Пусть граф G не ориентированный. Маршрутом называется такая конечная или бесконечная последовательность ребер, что начало каждого следующего совпадает с концом предыдущего. Часть рассматриваемого маршрута называется подмаршрутом. Вершина, от которой начинается маршрут, называется начальной; кончается – конечной. Длиной маршрута называется число ребер в нем. Причем каждое ребро считается столько раз, сколько раз оно явно входит в маршрут. Маршрут, все ребра которого различны, называется цепью(вершины могут повторяться). Цепь, вершины которой различны, называется элементарной. Замкнутая цепь называется циклом. Замкнутая элементарная цепь называется элементарным циклом. Пусть теперь G- ор-граф. Для ор-графа вводятся понятия ориентированного маршрута или нет. Ориентированный маршрут называется путем. Путь, у которого все дуги различны, называется цепью. Элементарная цепь – все вершины различны. Замкнутая цепь называется контуром. Замкнутая элементарная цепь – элементарный контур. Замечание: когда говорят о контуре графа, то считают, что он всегда ориентирован.
Теорема1: из всякого незамкнутого маршрута (пути) можно всегда выделить элементарную цепь с той же начальной и конечной точкой. Доказательство: пусть мы имеем не элементарную цепь, тогда найдется вершина V, кот. инцидентна. Пронумеруем все ребра, инцидентные вершине V. Отсюда следует, что если какие-нибудь вершины V и U соединены цепью, то они соединены и элементарной цепью. Аналогичная теорема имеет место для замкнутых маршрутов и путей. Из псевдографов, мультиграфов(ор. или нет), из всякого цикла (контура) можно выделить элементарный цикл (контур).