- •Множества. Основные понятия. Способы задания.
- •Счетное множество
- •Несчетное множество
- •Существование множеств сколь угодно большой мощности.
- •Отношение на множествах
- •Свойства бинарных отношений на множестве м.
- •Замыкание отношений.
- •Основные булевы функции.
- •Двойственность. Принцип двойственности.
- •Переход от табличного задания функции к аналитическому.
- •Запись бф через сп.(сднф)
- •Построение бф через сс.(скнф)
- •Замкнутость и полнота.
- •Реализация функций многочленом Жегалкина.
- •Запись аналитического выражения функции, заданной таблично, через функцию Шеффера и Пирса.
- •Основные понятия теории графов.
- •Способы задания графов.
- •Подграфы. Операции над графами.
- •Степени вершин графа.
- •Теорема о выделении из всякого замкнутого маршрута (пути) нечетной длины простого цикла (контура) нечетной длины.
- •Нахождение числа маршрутов (путей) через матрицу смежности.
- •Необходимое и достаточное условие существования контура ор-графа.
- •Связность графа. Отыскание компонент связности при графическом задании графа.
- •Отыскание компонент связности (сильной связности) матричным методом.
- •Диаметр, радиус, центр графа. Алгоритм их отыскания.
- •Отыскание кратчайших расстояний на графе.
- •Ациклические ориетированные графы. Теорема о существовании его начальной и конечной вершины.
- •Ранги вершин. Правильная нумерация вершин.
- •Двудольные графы, признак двудольности.
- •Разделяющие вершины и мосты. Теорема о разделяющей вершине. Алгоритм отыскания.
- •Блоки. Достаточный признак. Алгоритм отыскания.
- •Определение дерева. Теорема о связи любых его двух вершин.
- •Задача о минимальном соединеии, алгоритм получения.
- •Планарность: оновные определения, теорема Эйлера, следствие.
- •Максимальный плоский граф. Основные соотношения. Геоморфизм. Теорема Понтрягина-Куратовского.
Теорема о выделении из всякого замкнутого маршрута (пути) нечетной длины простого цикла (контура) нечетной длины.
Теорема: из всякого замкнутого маршрута (пути) нечетной длины можно выделить простой цикл (контур) нечетной длины. Доказательство: пуст дан граф: 1
1 2-3-4-5-2-5-1-2. Расположим вершины
5 2 замкнутого контура по кругу:
1-2-3-4-5-1. Если все вершины различны,
4 3 то простой цикл (контур) построен.
Пусть теперь некоторые вершины повторяются:
1-2-3-4-5-2-5-1. возьмем вершину, которая повторяется хоты бы два раза – 2. Очевидно, путь от первого вхождения вершины до второго вхождения замкнутый, и от второго в первое тоже замкнутый. Т.к. весь путь нечетной длины, то из двух полученных циклов (второй – 5-2-5) один обязательно нечетной длины. Выбросим цикл четной длины и проведем аналогичное рассуждение к оставленному циклу нечетной длины. Этот процесс обязательно закончится, т.к. на каждом шаге длина пути уменьшается по крайней мере на 2.
Нахождение числа маршрутов (путей) через матрицу смежности.
Пусть А- матрица смежности n- вершинного графа. А=(aij)n, Al- l-я степень матрицы А. Al=(alij). Теорема: элементы матрицы Al дают число путей (маршрутов) длины l из i-й вершины в j-ю. Доказательство: обозначим число различных путей из i-й вершины в k-ю через aik. Длина этих i путей- 1. Тогда общее число путей из i-ой вершины в j-ю длины 2, проходящих j m через k-ю вершину, есть . k произведение. Если мы просуммируем по всем вершинам k, то получим число всех путей длины 2 из i-й вершины в j-ю. А по определению матриц это есть АА. (i=1 to n)aikakj=AA=A2=(a2ij). Если мы возьмем некоторую вершину m, тогда чтобы найти число путей из i-й вершины в m-ю длины 3, которые проходят через j-ю вершину, нужно найти произведение a2ijajm. Если просуммируем по всем j, то получим общее число путей из i-й вершины в m-ю. (j=1 to n) a2ijajm=A2A=A3=a3ij. и т.д. Очевидно, если при каком-нибудь значении l получим Аl=0, то это будет означать, что и более высокие степени матрицы=0, т.е. в графе не будет циклов(контуров). Если в графе нет циклов, то Аl дает число простых путей(маршрутов) графа между i-й и j-й вершинами.
Необходимое и достаточное условие существования контура ор-графа.
Теорема: для того, чтобы n-вершинный ор-граф имел хотя бы один контур, необходимо и достаточно, чтобы матрица K=A2+ A3+ A4+…+ An (1) имела хотя бы один элемент на диагонали >0 (kij>0). Доказательство: пусть хотя бы при одном i элемент матрицы k>0 (kij>0). Это означает, что в силу условия (1) найдется такое 2<=l<=n, что aii>0, т.е. имеется путь из i-ой вершины в i-ую, значит, имеется и элементарный контур из i-ой вершины в i-ую. Обратно: если найдется элемент a(l)ij>0 в матрице Al, то это будет означать, что существует контур длины l, значит, из него можно выделить простой контур, длина которого не превосходит числа вершин, а тогда 2<=l<=n, следовательно, элемент a(l)ij>0К, т.е. на диагонали матрицы К элемент kii>0.