Ранги вершин. Правильная нумерация вершин.

Рангом R(j) называется максимальное число дуг пути, соединяющих начальную вершину с j-й. ранги всегда определены, если граф направленный, в противном случае этого может и не быть.

Алгоритм, позволяющий найти ранги вершин: 1) каждой вершине в порядке введеннной нумерации присваиваем ранг=0: R⁽⁰⁾(j)=0, 2) R^(k)(j)=max{R^(k-1)(i)+1}, где i непосредственно предшествует k. Алгоритм заканчивает работу, когда R^(k)(j)= R^(k-1)(j)=R(j). если у графа мало дуг, то ранги можно находить геометрически.

Чтобы правильно проставить нумерацию, нужно каждой вершине присвоить номер в порядке возрастания ранга. Нумерация называется правильной, если для любой дуги графа номер начала меньше номера конца.

Двудольные графы, признак двудольности.

V1 из опреления вытекает, что вершины,

принадлежащие одной доле, не могут

быть смежными.

V2

2 1 3 5 эти графы изоморфны

1 3 название К_3,3

6 4

5 2 4 6

Теорема о достаточном и необходимом условии двудольности: Теорема: граф двудолен тогда и только тогда, когда любой простой цикл этого графа имеет четную длину. Доказательство: дан двудольный граф, доказать, что простые циклы его имеют четную длину. Если граф не имеет циклов, то доказательство очевидно. Пусть граф имеет цикл. Возьмем какую-нибудь его вершину, лежащую на цикле. Очевидно, вершина а принадлежит либоV1, либо V2.

V1 если мы от вершины а по ребру придем во множество V1, то пройдем нечетное число ребер, а чтобы из вершины а

V2 снова вернуться во множество V2, a мы должны пройти четное число ребер, а поэтому, проходя от вершины а через ребра снова в вершину а, мы получим цикл четной длины. Пусть все циклы графа имеют четную длину. Покажем, что он двудольный. Если граф связный, то разобьем его на компоненты связности и докажем для одной компоненты и распространим доказательство на весь граф. Разобьем всё множество вершин графа на два подмножества V1 и V2. Таких, что для точки а, лежащей на цикле, расстояние до верхнего множества V1 четно, а расстояние до множества V2 нечетно.- (определение двудольного графа).

Покажем, что вершины множеств v1 и V2 между собой не могут быть смежными. Предположим a,b,cV1. Тогда растояние от вершины а до b имеет четную длину. Добавим ребро bc и путь от с к а будет четным, получаем цикл нечетной длины, что противоречит условию. Аналогично доказывается и для множества V2.

Разделяющие вершины и мосты. Теорема о разделяющей вершине. Алгоритм отыскания.

Пусть имеется неор-граф. Вершину зовут разделяющей, если ее удаление увеличивает число компонент графа; ребро, обладающее этим свойством, зовут мостом. Как правило, вершины, инцидентные мосту, являются разделяющими за исключением, если одна из вершин ребра является концевой. Теорема: вершина V графа является разделяющей, если существуют такие две вершины, что любая цепь, их соединяющая, проходит через вершину V

G V

V1 V2

Доказательство: удалим из графа G вершину V: G-V и рассмотрим граф G-V. В этом графе вершины V1 и V2 не связаны между собой, т.к. любая цепь, их связывающая, проходит через вершину V. А это говорит о том, что граф G-V не связный, т.е. удалив вершину V, мы увеличим по крайней мере на 2 число компонент связности графа. Следствие: если существует простая цепь, проходящая через все смежные вершиные с U вершины и не проходящая через U, то вершина U не является разделяющей. Заметим, что разделяющей вершиной не может являться висячая и транзитивная (степень 2) вершина, лежащая на простом цикле. Аналочичную теорему можно сформулировать и для моста: Ребро Е связного графа G является мостом, если существуют также две вершины графа V1 и V2, что любая простая цепь, их соединяющая, проходит через ребро Е. Очевидно, мост не может лежать на простом цикле.

Рассмотрим алгоритм нахождения разделяющих вершин:

8 7 6 1) отсекаем вершины, которые не могут быть

разделяющими: 4,3,8. 2-3-9-7-6 – вычерк. 2,

9-8-7-6-2-3 – вычеркиваем 9,

9 7-8-9-3-2-6 – вычерк. 7, 1,6,5-? Если не

5 удастся отсечь все вершины, то включаем их в

сомнительные.

2) исследуем сомнительные вершины:

1 2 3 4 удаляем каждую сомнительную вершину и проверяем оставшийся подграф на связность. Если он связный, то вершина не является разделяющей. В противном случае вершина будет разделяющей и мы найдем компоненты связности. 1,5 – очевидно разделяющие. Удаляем 6: G-6 – не связный. {2,3,7,8,9} и {1,5,4}.