Блоки. Достаточный признак. Алгоритм отыскания.

Связный не ор-граф называется неразделимым, если он не содержит разделяющих вершин. Связный неразделимый граф называется блоком, а все его вершины называются внутренними вершинами графа. Теорема: пусть N- число вершин графа >=3. Граф является блоком, если: 1) любые две его вершины принадлежат общему простому циклу, 2) любые два ребра принадлежат общему циклу, 3) любая вершина и любое ребро принадлежат общему простому циклу, 4) для любых двух вершин и любого ребра графа существует простая цепь, их соединяющая. Возьмем произвольный граф, который не является блоком, тогда он разделим на отдельные блоки, каждый из которых является подграфом графа. Блоком графа G, порожденный вершинами U1,…,Ui, называется его максимальный неразделимый подграф, порожденный этими вершинами. Блоки могут соединяться либо по вершинам, которые являются разделяющими, либо с помощью мостов. Алгоритм выделения блока:1) определяем все разделяющие вершины Ui, 2) для каждой разделяющей вершины определяем компоненты связности графа G-Ui. Эти вершины порождают для каждой свои компоненты связности, 3) находим внутренние вершины графа,блока. Для этого рассматриваем все непустые пересечения множеств, полученных в пункте 2, 4) к полученным вершинам добавляем смежные с ними разделяющие вершины, и строим эти блоки, 5) добавляем (если они есть) к каждому блоку недостающие вершины между смежными разделяющими вершинами, 6) полученные блоки соединяем по разделяющим вершинам с добвлением K2 (если они есть).

Определение дерева. Теорема о связи любых его двух вершин.

Не ориентированный связанный граф, не содержащий циклов, называется деревом. Если граф не связан, а каждая его компонента дерево, то граф называется лесом. Свойства деревьев: 1)в дереве любая пара вершин соединяется единственной простой цепью. (если бы существовала не единственная цепь, то существовал бы цикл, а дерево циклов не имеет). Концевая вершина называется листом. Звездный граф – содержи только концевые ребра. 2) каждое дерево имеет по крайней мере одно концевое ребро и две концевых (висячих) вершин. 3)Теорема (о связи между вершинами и ребрами дерева): пусть имеем дерево, в котором n вершин и m ребер, тогда m=n-1. Доказательство: по индукции: для графа K2 (одно ребро и две вершины) это очевидно. Пусть теорема справедлива для любого числа вершин <n. Очевидно, каждое ребро дерева является мостом. Удалим в дереве какое-нибудь ребро, тогда получим две компоненты связности, для каждой из которых теорема справедлива: m1=n1-1, m2=n2-1, но n1+n2=n, а m=m1+m2+1. Типа, теорема доказана .

Задача о минимальном соединеии, алгоритм получения.

Задача: имеется n пунктов. Имеется стоимость строительства между каждыми пунктами. Требуется эти пункты соединить наиболее дешевой сетью. Это будет дерево. Алгоритм построения min дерева схож с алгоритмом построения оставного дерева. Только здесь нужно выбирать наиболее дешевое ребро. 1) берем любую вершину и смежное к ней самое дешевое ребро (или берем самое дешевое ребро), 2) выбираем самое дешевое ребро, смежное к полученной вершине шага 1, 3) рассматриваем все смежные ребра к вершинам пункта 2, выбирается самое дешевое и с инцидентной ему вершиной, не вошедшей в вершины пункта 2.