Пример 2.
Рассмотрим несколько функций двух переменных
-
x1
x2
(x1x2)
f3
f15
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
Покажем, что (х1x2) существенно зависит отх1. Рассмотрим наборы (0,1) и (1,1), здесь2=1,f(0,2)=0 и не равноf(1,2)=1. Покажем, чтох2тоже существенная переменная. Рассмотрим наборы (1,0) и (1,1). Здесь1=1,f(1,0)=0 и не равноf(1,1)=1. Для функцииf3(x1,x2) покажем , чтох2 – иктивная переменная, т.е. надо показать, что не существует наборов(1,0) и (1,1) таких, чтоf3(1,0)f3(1,1). Пусть1=0, т.е. рассмотрим наборы (0,0) и (0,1),f(0,0)=f(0,1)=0. Пусть1=1, ноf(1,0)=f(1,1)=1.
Для функции f15иx1иx2являются фиктивными переменными.x1 – фиктивная переменная, если не существует наборов (0,2) и (1,2), таких, чтоf(0,2)f(1,2). Если2=0, тоf(0,0)=f(1,0)=1. Пусть2=1, тогдаf(0,1)=f(1,1)=1.
Пусть хiявляется фиктивной переменной для функцииf(x1, ...,xi, ...,xn). Тогда ее можно удалить из таблицы истинности, вычеркнув все строки вида: (1, ...i–1, 1,i+1, ...n) или, наоборот, все строки вида: (1, ...,i–1, 0,i+1, ...n) и столбец для переменнойхi. При этом получим таблицу для некоторой функцииg(x1, ...,xi–1, xi+1, ...xn). Будем говорить, что функцияg(x1, ...xi–1,xi+1, ...xn) получена из функцииf(x1, ...,xi, ...xn) путем удаления фиктивной переменнойхi илиfполучена изgпутем введения фиктивной переменной хi.
Определение 4.Функцииf1иf2называются равными, еслиf2можно получить изf1путем добавления или удаления фиктивной переменной.
Пример 3.
-
x1
x2
f3
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
Вычеркнули строки типа (,1), т.е. (0,1) и (1,1) и столбец для х2.
Получили f3(x1x2) =g(x1) =x1.
Пример 4.
-
x1
x2
g
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
Пусть функция g(x1x2) задана таблицей и существенно зависит от обеих переменных. Построим функциюf(x1,x2,x3), которая получается изg(x1,x2) введением фиктивной переменнойх3:
-
x1
x2
x3
f
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
К наборам (х1,х2) мы добавимх3=0, получим наборы вида: (1,2,0), на этих наборах функциюfположим равнойg(,), затем добавим наборы вида (,,1), функциюf(,,1) положим равнойg(,).
Особую роль играют константы 0 и 1, которые не имеют существенных переменных и которые можно рассматривать как функции от пустого множества переменных.
2.2. Формульное задание функций алгебры логики
Дадим индуктивное определение формулы над множеством. Это определение несколько сложное по форме, но будет полезно в дальнейшем. С индуктивным определением мы встречались в математическом анализе при определении n-го дифференциалаdnf(x) : было введено понятие первого дифференциалаdf(x), а затемn-й дифференциал определялся как первый дифференциал отd(n–1)f(x).
Определение 1.ПустьМP2, тогда:
1) каждая функция f(x1, ...,xn)называется формулой над;
2) пусть g(x1, ...,xm)G1, ...,Gm – либо переменные, либо формулы над. Тогда выражениеg(G1...Gn) – формула над.
Формулы будем обозначать заглавными буквами: N[f1, ...,fs], имея в виду функции, участвовавшие в построении формулы, илиN(х1, ...,xk) имея в виду переменные, вошедшие в формулу.Gi – формулы, участвовавшие в построенииg(G1, ...,Gn), называются подформулами.
Пример 1.ПустьN={(x1x2),(x1x2),(x)}, тогда ((х1х2)х3) – формула над.
Сопоставим каждой формуле N(x1, ...,xn) функциюf(x1, ...,xn)P2. Сопоставление будем производить в соответствии с индуктивным определением формулы.
1) Пусть N(x1, ...,xn)=f(x1, ...,xn), тогда формулеN(x1, ...,xn) сопоставим функциюf(x1, ...,xn).
2) Пусть N(x1, ...,xn)=g(G1,
...,Gm), где каждоеGi
– либо формула надM, либо
переменная, тогда по индуктивному
предположению каждомуGi
сопоставлена либо функцияfiP2, либо переменнаяхi ,
которую можно считать тождественной
функцией. Таким образом, каждой формулеGiсопоставлена функцияfi(
),
причем:{
}{x1,
...,xn}, т.к. в формулеN(x1,
...,xn) перечислены все
переменные, участвовавшие в построении
формулы. Можно считать, что все функцииfiзависят от переменных
(x1, ...,xn), причем
какие-то переменные могут быть фиктивными.
ТогдаN(x1, ...,xn)
=g(G1, ...,Gm) =g(f1(x1, ...,xn),
...,fm(x1,..,xn)).
Сопоставим этой формуле функциюh(x1,
...,xn) следующим образом:
пусть (1,
...,n)
– произвольный набор переменных (x1,
...,xn). Вычислим значение
каждой функцииfiна этом
наборе, пустьf(1,
...,n)=i,
затем найдем значение функцииg(x1,
...,xm) на наборе (1,
...,m)
и положимh(1,
...,n)
=g(1,
...,m)
=g(f1(1,
...,n),
...,fm(1,
...,n)).
Так как каждоеfi(x1,
...,xn) есть функция, то на
любом наборе (1,
...,n)
она определяется однозначно,g(x1,
...,xm) – тоже функция,
следовательно, на наборе (1,
...,n)
она определяется однозначно, гдеh(x1,
...,xn) есть функция,
определенная на любом наборе (1,
...,n).
Множество всех формул над Mобозначим через <M>.
Определение 2.Две формулыNиDиз <M> называются равнымиN=Dили эквивалентнымиND, если функции, реализуемые ими, равны.
Пример 2. Доказать эквивалентность формул:
(
&(х2x3))~(
)
.
-
x1
x2
x3
x2x3
&
x2
x3x3
x2&
x1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
0
0
0