Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Учебник по дискретной математике.doc
Скачиваний:
295
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
3.74 Mб
Скачать

Теорема Поста о полноте

Для того чтобы система функций была полной, необходимо и достаточно, чтобы она не содержалась целиком ни в одном из классов T0,T1,L,S,M.

Доказательство.Докажем необходимость этого условия. Пусть система

N = {f1,f2, ...fs, ...} полна вР2, покажем, что тогда она не лежит целиком вQ, где черезQобозначим любой из классовT0,T1,L,S,M. Докажем от противного, пустьNQ, очевидно, [N][Q] =Q, но [N] =P2, т.к.N– полна вР2, отсюдаР2=Q, но это не так. Необходимость доказана.

Докажем достаточность. Пусть F= {f0,f1,fL,fm,fs}, гдеf0T0,f1T1,fLL,fsSиfmM. Покажем, что суперпозицией функций системыFможно получить полную системуG= {x1&x2, }.

1. Пусть g(x) =f0(x, …,x). Тогдаg(0) =f( 0, …, 0) = 1. Далее возможны два случая:

g(1) = 1. Тогдаg(x)1. Функцияh(x) =f1(g(x), …,g(x)) =f1(1, …, 1) = 0, т.е.h(x)0. Получили константы 0 и 1;

g(1) = 0. Тогдаg(x) =. По лемме о несамодвойственной функции суперпозицией над {fs, } можно получить одну из констант, например, 0. Тогдаf0(0, …, 0) = 1 есть другая константа.

В обоих случаях получили обе константы.

2. По лемме о немонотонной функции суперпозицией над {fm, 0, 1} можно получить отрицание.

3. По лемме о нелинейной функции суперпозицией над {fL, 1, } можно получить конъюнкцию. Теорема доказана.

Следствие.Всякий замкнутый класс функций изР2, не совпадающий сР2содержится, по крайней мере, в одном из замкнутых классовT0,T1,L,S,M. Действительно, еслиNне является подмножествомQ, то [N] =P2, что неверно.

Примеры использования теоремы Поста.

1. Покажем, что система функций {f1 =x1x2,f2 =0,f3 =1,f4 =x1x2x3} полна вР2. Составим таблицу, которая называется критериальной :

Т0

Т1

L

M

S

x1x2

+

+

-

+

-

0

+

-

+

+

-

1

-

+

+

+

-

x1x2x3

+

+

+

-

+

x1 x2 x3

x1x2x3

0 0 0

0 1 1

1 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

0

0

0

0

1

0

0

1

Из таблицы видно, что какой бы класс мы ни взяли, всегда есть функция из данной системы , которая в этот класс не входит. Можно сформулировать следующее правило: для того чтобы система функций была полна, необходимо и достаточно, чтобы в каждом столбце критериальной таблицы был хотя бы один «минус».

Отметим еще одно обстоятельство, касающееся приведенной системы. Какую бы функцию из этой системы мы ни удалили, система станет неполной, действительно, {f2,f3,f4}L, {f1,f3,f4}T1, {f1,f2,f4}T0, {f1,f2,f3}M.

2. Мы знаем, что система {x1|x2} – полна вР2. Какова для нее критериальная таблица?x1|x2= =x1x21.

Т0

Т1

L

M

S

x1|x2

-

-

-

-

-

3. Составим критериальную таблицу для другой полной системы функций из р2: {0, 1,x1x2,x1x2}.

Т0

Т1

L

M

S

0

+

-

+

+

-

1

-

+

+

+

-

x1x2

+

+

-

+

-

x1x2

+

-

+

-

-

Согласно критериальной таблице, полной является и система {1, x1x2,x1x2}. Константа 0 введена в эту систему для удобства, тогда мы можем записать полином Жегалкина в виде, гдеаравны 0, если членыхх...х, в полиноме отсутствуют.

4. Выясним, полна ли система . Составим критериальную таблицу, очевидно. Чтобы показать, что, достаточно найти одну функциюи. Возьмем, удовлетворяющую требуемым условиям. ЕслиfS\T0, тоf(0, ..., 0) = 1,f(1, ..., 1)=0, следовательно,fM,fT1. Рассмотрим функциюh=x1x2x2x3x1x3=1, набор ее значений (11101000),hS\T0, ноhL. Следовательно, критериальная таблица имеет вид:

Т0

Т1

L

M

S

LT1

-

+

+

-

-

S\T0

-

-

-

+

-

и А – полная система функций.

Определение. Система функций {f1, ...,fs, ...} называется базисом вР2,если она полна вР2, но любая ее подсистема не будет полной. Например, система функций {x1&x2, 0, 1,x1x2x3} – базис.