Метод минимизирующих карт Карно

При построении сокращенных ДНФ для функций, зависящих от небольшого числа (не более 4) переменных, используется метод карт Карно. Построение карт Карно основано на свойствах булева куба.

Множество всех двоичных наборов длины nобразуетn-мерный булев или двоичный куб, который называют также единичнымn-мерным кубом и обычно обозначают . Применяя геометрическую терминологию, наборыназывают вершинами куба .

Расстоянием Хэмминга между вершинами и куба называется число оно равно числу координат, в которых наборы и отличаются друг от друга. Расстояние Хемминга является метрикой, а куб – метрическим пространством.

Наборы и из называются соседними если и противоположными если, т.е. соседние наборы различаются только в одной координате, а противоположные во всех координатах.

Символом обозначают множество т.е. множество всех наборовиз, на которых функцияобращается в 1.

Гранью единичного n-мерного куба называется множество Множество называется направлением, числоk- рангом, а числоn–k– размерностью грани. Кодом граниG=называется вектордлиныn, в котором, а остальные координаты есть «–». Например=

(0–1–). Одномерные грани называются ребрами куба.

Обозначим множество векторов длины nс координатами из множества {0, 1, –} черезGⁿ. На множествеGⁿзададим частичный порядок, полагая если векторможет быть получен изпутем замены некоторых (быть может, ни одной) координат набора, равных 0 и 1, на «–». Отношение между кодами гранейGиHсоответствует отношениюмежду гранями. Положимравным числу прочерков в набореиТогдасоответствует множеству ребер куба ,– множеству граней куба , имеющих размерностьk. Интерваломкуба называется множество вида , где,– вершины из такие, что . Число называется размерностью интервала.

Если элементарная конъюнкция kявляется импликантой функции, то множествоN_kвсех наборови из таких, чтообразует грань, содержащуюся в множествеN_f. Эта грань называется интервалом функцииf, соответствующем импликантеk. Интервал функцииf, не содержащийся ни в каком другом интервале функцииf, называется максимальным интервалом. Максимальные интервалы функцииfсоответствуют ее простым импликантам.

В методе минимизирующих карт Карно функция задается прямоугольной таблицей, в которой наборы значений переменных на каждой из сторон прямоугольника расположены в коде Грея. Нахождение простых импликант сводится к выделению максимальных по включению прямоугольников, состоящих из единиц. Из прямоугольников, соответствующих граням максимальной размерности, находим коды максимальных интервалов. Считается, что каждая клетка таблицы является соседней к клетке, примыкающей к противоположной стороне и расположенной на той же горизонтали или вертикали. Метод применим также и для не всюду определенных функций. В этом случае выделяются максимальные прямоугольники, содержащие хотя бы одну единицу и не содержащие нулей.

Пример 2.Таблица 3.12 представляет собой минимизирующую карту для функциис вектором значений Коды максимальных интервалов имеют вид (00-0), (000-), (--01), (-1-1), (110-). Сокращенная ДНФ имеет вид

Таблица 3.12 Таблица 3.13

Пример 3.Таблица 3.13 представляет собой минимизирующую карту для частичной функцииf, зависящей от трех переменных. Сокращенная ДНФ имеет вид