Теорема о достаточности четырех функций.

Из любой полной в Р₂системы функций можно выделить полную подсистему, состоящую не более чем из четырех функций.

Доказательство. Пусть {f₀,f₁,f_L,f_M,f_S} – полная система функций, тогда она не лежит целиком ни в одном из классовT₀,T₁,L,M,S. Следовательно, в системе есть функцииf₀T₀,f₁T₁,f_LL,f_SSиf_mM. Система {f₀,f₁,f_L,f_M,f_S}P₂и образует полную систему вР₂. Рассмотрим функциюf₀:f₀(0, ..., 0) = 1.

Если f₀(1, ..., 1) = 0, тоf₀T₁иf₀M, тогда {f₀,f_S,f_L} – полная система из трех функций.

Если f₀(1, ..., 1) = 1, тоf₀Sи {f₀,f₁,f_L,f_M} образует полную систему из четырех функций.

Пример 1, приведенный выше, показывает, что цифру 4 в общем случае уменьшить нельзя, из полной системы {x₁x₂,0,1,x₁x₂x₃} нельзя выделить полную подсистему.

Следствие.Базис вР₂может состоять максимум из четырех функций.

2.7. Функции k - значной логики

Введем обозначение: E_к={0, 1, 2, ...,k–1}.

Функция k-значной логики, зависящая отnпеременных, – это закон, отображающий. Множество функцийk-значной логики обозначается какР_k. Функция изР_kполностью определена, если задана ее таблица истинности, т.е. заданы значения на всех наборах. Наборы можно рассматривать как записи вk-ичной системе счисления чисел от 0 доk–1, всего наборовkⁿ. Функций изР_k, зависящих отnпеременных, будетkⁿ. |P₃(n)|, например, будет 3, еслиn= 2, то |P₃(2)| = 3⁹= 19683 (k=3,n=2).

x1 x2 . . . xn-1 xn	f
0 0 . . . 0 0 0 0 . . . 0 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 0 k–1 0 0 . . . 1 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k–1 k–1 . . . k–1k–1	. . . . . . .

В k- значной логике также есть функции, которые называются элементарными. Приведем некоторые из них, примеры будем приводить дляk= 3 иn= 2.

1. Циклический сдвиг или отрицание Поста: =x+1(modk).

2. Зеркальное отображение или отрицание Лукосевича: N_x =k–1–x.

Эти две функции являются обобщением отрицания.

3. J_i(x)=x = i, I = 0, 1, 2, ..., k–1}.

x1	x2	Nx	J0(x)	J1(x)	J2(x)
0 1 2	1 2 0	2 1 0	2 0 0	0 2 0	0 0 2

4. min(x₁,x₂) – обобщение конъюнкции;

5. x₁x₂(modk) – второе обобщение конъюнкции;

6. max(x₁,x₂) – обобщение дизъюнкции;

7. x₁+x₂(modk) – сумма по modk.

x1	x2	min(x1,x2)	x1x2(mod 3)	max(x1x2)	x1+x2(mod 3)
0 0 0 1 1 1 2 2 2	0 1 2 0 1 2 0 1 2	0 0 0 0 1 1 0 1 2	0 0 0 0 1 2 0 2 1	0 1 2 1 1 2 2 2 2	0 1 2 1 2 0 2 0 1

Принято min(x₁,x₂) обозначать x₁&x₂, max(x₁,x₂) обозначать x₁x₂.

Как и в двузначной логике, можно ввести понятие формулы над множеством и ставить вопрос о полной в Р_kсистеме функций.

Теорема о полной в Рk системе функций

Cистема функций {max(x₁,x₂),min(x₁,x₂), 0, 1, ...,k–1,J₀(x),J₁(x), ...,J_k-1(x)} является полной вР_kи любая функцияf(x₁, ...,x_n)P_kвыражается формулой над этой системой следующим образом:

.

Эта формула есть своеобразный аналог СДНФ.

Доказательство.Покажем справедливость этой формулы на любом произвольном наборе (₁, ...,_n). Слева имеемf(₁, ...,_n). Справа имеем.

Если для какого-нибудь jиз {1, 2, ...,n}i_j _j, то(_j) = 0 иmin[J(₁),(₂), …,(_n),f(i₁,..,i_n)] = 0. Рассмотрим набор (i₁, ...,i_n), гдеi₁ =₁,i₂ =_, ...,i_n =_n, тогдаJ(_) =k–1,J(_) =k–1, ..,J(_n) =k–1 иmin[J(_), ... ,J(_n)f(₁, …,_n).]= min[(k–1), ..., (k–1), f(₁, …, _n).] =f(₁, …,_n), но тогдаТак как набор (₁, ...,_n) произвольный и равенство на нем справедливо, то формула верна. В этой формуле использованы функцииJ_i(x), (i = 0, ...,k–1),min(x₁x₂),max(x₁x₂) и константы 0, ...,k–1, так как функцияf(i₁, ...,i_n) есть число из {0, 1, ...,k–1}.