Теорема.

Доказательство. Очевидно, Действительно, объектA– неупорядоченная выборка изnэлементов поm, их число. После того, как этиmэлементов отобраны, их можно упорядочитьm! способами (в роли объекта B выступает “порядок“ в выборке). Совместный выбор “AиB“ – упорядоченная выборка.

Пример 5.Группа из 15 человек выиграла 3 одинаковых книги. Сколькими способами можно распределить эти книги?

Сочетания, размещения и перестановки являлись подмножествами исходного множества. Рассмотрим выборки, которые не являются подмножествами.

Размещения с повторениями. Упорядоченные выборки объемом mизnэлементов, где элементы могут повторяться, называются размещениями с повторениями. Их число обозначается(n).

Теорема.(n) =n^m.

Доказательство. Первый элемент может быть выбран nспособами, второй элемент также может быть выбранnспособами и так далее,m-й элемент также может быть выбранnспособами. По принципу произведения получаемn^m.

Пример 6.Кодовый замок состоит из четырех разрядов, в каждом разряде независимо от других могут быть выбраны цифры от 0 до 9. Сколько возможных комбинаций?

Здесь n= 10,m= 4 и ответом будет 10⁴.

Пример 7. Рассмотрим вектор длиныm, каждая координата которого может принимать всего 2 значения: 0 или 1. Сколько будет таких векторов?

Это есть выборка, объемом m из двух элементов. Ответ: 2^m

Перестановки с повторениями. Пусть имеетсяnэлементов, среди которыхk₁элементов первого типа,k₂элементов второго типа и т.д.,k_s элементовs-го типа, причемk₁ +k₂+ ... +k_s=n. Упорядоченные выборки из такихnэлементов поnназываются перестановками с повторениями, их число обозначаетсяC_n(k₁,k₂, ...,k_s). ЧислаC_n(k₁,k₂, ...,k_s) называются полиномиальными коэффициентами.

Теорема. C_n(k₁, ..., k_s)=

Доказательство проведем по индукции по s, т. е. по числу типов элементов. Приs= 1 утверждение становится тривиальным:k₁=n, все элементы одного типа иC_n(n) = 1. В качестве базы индукции возьмемs= 2,n =k₁ + k₂. В этом случаем перестановки с повторениями превращаются в сочетания изnэлементов поk₁(илиk₂): выбираемk₁место, куда помещаем элементы первого типа.

C_n(k₁,k₂) =

Пусть формула верна для s=m, т.е.n=k₁+ ... +k_mи

C_n(k₁, ..., k_m)=

Докажем, что она верна для s=m+ 1 (n=k₁+... +k_m+k_m+1). В этом случае перестановку с повторениями можно рассматривать как совместный выбор двух объектов: объектA– выборk _{m + 1} места для элементов (m+ 1)-го типа; объектB– перестановка с повторениями из (n–k_m+1) элементов. ОбъектAможно выбратьспособом,B–(k₁, ...,k_m) способами. По принципу произведения

и мы получили требуемую формулу.

Замечание.Числаназываются биноминальными коэффициентами. Из этой формулы следует, что

Пример 8.Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в слове “математика”?

Решение. Буква “а” входит 3 раза (k₁= 3), буква “м” – 2 раза (k₂= 2), “т” – 2 раза (k₃= 2), буквы “е”, ”к”, ”и” входят по одному разу, отсюдаk₃ =k₄=k₅= 1.

C₁₀(3, 2, , 2, 1, 1, 1) ==151200.

Сочетания с повторениями.Пусть имеетсяnтипов элементов, каждый тип содержит не менееmодинаковых элементов. Неупорядоченная выборка объемом m из имеющихся элементов (их числоmn) называется сочетанием с повторением. Число сочетаний с повторениями обозначается(n).

Теорема.(n) =.

Доказательство. Пусть в выборку вошло m₁элементов первого типа,m₂элементов второго типа, ...m_n–n-го типа. Причем каждое 0m _imиm₁+m₂+ ...+m_n= =m. Сопоставим этой выборке вектор следующего вида: Очевидно, между множеством неупорядоченных выборок с повторениями и множеством векторов {b_n} существует биекция (докажите это!). Следовательно,(n) равно числу векторовb_n. “ Длина вектора”b_nравна числу 0 и 1, илиm+ +n–1. Число векторов равно числу способов, которымиmединиц можно поставить наm+n1 мест, а это будет.

Пример 9.В кондитерской имеется 7 видов пирожных. Покупатель берет 4 пирожных. Сколькими способами он может это сделать ? (Предполагается, что пирожных каждого вида4).

Число способов будет

Пример10.ПустьV= {a,b,c}. Объем выборкиm= 2. Перечислить перестановки, размещения, сочетания, размещения с повторениями, сочетания с повторениями.

1. Перестановки: {abc,bac,bca,acb,cab,cba}.P₃=3!=6.

2. Размещения:{(ab), (bc), (ac), (ba), (cb), (ca)}.

3. Сочетания: {(ab), (ac), (bc)}.

4. Размещения с повторениями: {(ab), (bc), (ac), (ba), (cb), (ca), (aa), (bb), (cc)}.(3)= 3²= 9.

5. Сочетания с повторениями:{(ab), (bc), (ca), (aa), (bb), (cc)}.