Теорема Жегалкина

Каждая функция из может быть представлена в виде полинома Жегалкина единственным образом.

Здесь единственность понимается с точностью до порядка слагаемых в сумме и порядка сомножителей в конъюнкциях:

,s= 0, 1, ...,n.Доказательство.Любая функция изР₂может быть представлена формулой над {x₁&x₂,x₁x₂, 0, 1}, а эта формула после раскрытия всех скобок и приведения подобных членов дает полином Жегалкина. Докажем единственность представления. Рассмотрим функцииf(x₁, ...,x_n) отnпеременных. Мы знаем, что всего таких функций, т.е. их таблиц истинности , 2ⁿ. Подсчитаем число различных полиномов Жегалкина отnпеременных, т.е. число вариаций вида: . Число наборов равно числу всех подмножеств множества {x₁, ...,x_n}, сюда входит и пустое множество (еслиs= 0). Число подмножеств множества из n элементов равно 2ⁿ, а так как каждый набор входит с коэффициентом , принимающим два значения: 0 или 1, то число всевозможных полиномов будет . Так как каждому полиному соответствует единственная функция, число функций отnпеременных равно числу полиномов, то каждой функции будет соответствовать единственный полином.

Определение. Функцияf(x₁, ...,x_n), полином Жегалкина для которой имеет следующий линейный относительно переменных вид:f=а₀ а₁х₁ а₂х₂ ...а_nх_n, называется линейной.

Лемма о нелинейной функции. Суперпозицией нелинейной функции, отрицания и константы 1 можно получить конъюнкцию.

Доказательство.Пустьf(x₁, ...,x_n) – нелинейная функция. Тогда полином Жегалкина содержит для нее слагаемое, в котором присутствует произведениеx_ix_j. Будем считать для простоты, чтоx₁x₂в многочлене Жегалкина является этим произведением. Произведя группировку слагаемых, функциюfпредставим в виде

Функция h₀не есть тождественный нуль, иначе в полиноме Жегалкина отсутствует слагаемое с произведениемx₁x₂. Тогда существует набор (₃, …,_n) из 0 и 1, для которогоh₀(₃, …,_n) = 1. Пусть h₁(₃, …, _n) = a, h₂(₃, …, _n) = b, h₃(₃, …, _n) = c. Тогда

Построим функцию:

гдеd=abc. Еслиd= 0, тоh(x₁,x₂) =x₁x₂. Еслиd= 1, тоh(x₁,x₂) =x₁x₂ 1 и тогдаЛемма доказана.

Функция f(x₁, ...,x_n) сохраняет константуa{0, 1}, еслиf(a, …,a) =a.

Пример 4.Функцияxyсохраняет 0, сохраняет 1. Функцияxyсохраняет 1 и не сохраняет 0.

2.6. Замыкание и замкнутые классы

Определение 1.ПустьMР₂. ЗамыканиемМназывается множество всех функций изP₂, которые можно выразить формулами надМ. ЗамыканиеМобозначается [M].

Определение 2. Множество функцийМназывается замкнутым классом, если [M]=M.

Пример 1.

1) P₂ – замкнутый класс.

2) Множество {1,x₁x₂} не является замкнутым классом. Его замыканием будет класс линейных функций: [{1, x₁ x₂}] = {f(x₁, ..., x_n) = c₀ c₁x₁ c_nx_n}. Действительно, по определению формулы над М, функция f(G₁, x₃), где f – есть сумма по модулю 2, G₁ – функция х₁ х₂, будет формулой над М: f(G₁, x₃) = (x₁ x₂) x₃.

Замечание. В терминах замыкания и замкнутого класса можно дать другое определение полноты, эквивалентное исходному:

М– полная система, если [M] =P₂.

3) A= {f(x₁, ...,x_n)f(1, 1, ..., 1) = 0} – незамкнутый класс. Возьмем формулу над этим множеством. Пустьf,g₁, ...,g_n A, т.е.f(1, 1, ..., 1) = 0,g₁(1, 1, ..., 1) = 0, тогдаf(g₁, ...,g_n)[A]. Посмотрим, принадлежит ли функцияf(g₁, ...,g_n) множествуА.f(g₁(1, ..., 1),g₂(1, ..., 1), ...,g_n(1, ..., 1) =f(0, ..., 0)), ноf(0, ..., 0) не обязано быть равным 0. Действительно, пустьg₁(x₁,x₂) =x₁ x₂,g₂(x) =xA. Возьмемg₂(g₁(x₁,x₂)) =x₁ x₂ [A],g₂(g₁(1, 1)) = 11 = 0, следовательно,g₂(g₁(x₁,x₂))A, отсюда [A]AиА– незамкнутый класс.