Теорема Поста о полноте

Для того чтобы система функций была полной, необходимо и достаточно, чтобы она не содержалась целиком ни в одном из классов T₀,T₁,L,S,M.

Доказательство.Докажем необходимость этого условия. Пусть система

N = {f₁,f₂, ...f_s, ...} полна вР₂, покажем, что тогда она не лежит целиком вQ, где черезQобозначим любой из классовT₀,T₁,L,S,M. Докажем от противного, пустьNQ, очевидно, [N][Q] =Q, но [N] =P₂, т.к.N– полна вР₂, отсюдаР₂=Q, но это не так. Необходимость доказана.

Докажем достаточность. Пусть F= {f₀,f₁,f_L,f_m,f_s}, гдеf₀T₀,f₁T₁,f_LL,f_sSиf_mM. Покажем, что суперпозицией функций системыFможно получить полную системуG= {x₁&x₂, }.

1. Пусть g(x) =f₀(x, …,x). Тогдаg(0) =f( 0, …, 0) = 1. Далее возможны два случая:

g(1) = 1. Тогдаg(x)1. Функцияh(x) =f₁(g(x), …,g(x)) =f₁(1, …, 1) = 0, т.е.h(x)0. Получили константы 0 и 1;

g(1) = 0. Тогдаg(x) =. По лемме о несамодвойственной функции суперпозицией над {f_s, } можно получить одну из констант, например, 0. Тогдаf₀(0, …, 0) = 1 есть другая константа.

В обоих случаях получили обе константы.

2. По лемме о немонотонной функции суперпозицией над {f_m, 0, 1} можно получить отрицание.

3. По лемме о нелинейной функции суперпозицией над {f_L, 1, } можно получить конъюнкцию. Теорема доказана.

Следствие.Всякий замкнутый класс функций изР₂, не совпадающий сР₂содержится, по крайней мере, в одном из замкнутых классовT₀,T₁,L,S,M. Действительно, еслиNне является подмножествомQ, то [N] =P₂, что неверно.

Примеры использования теоремы Поста.

1. Покажем, что система функций {f₁ =x₁x₂,f₂ =0,f₃ =1,f₄ =x₁x₂x₃} полна вР₂. Составим таблицу, которая называется критериальной :

	Т0	Т1	L	M	S
x1x2	+	+	-	+	-
0	+	-	+	+	-
1	-	+	+	+	-
x1x2x3	+	+	+	-	+

x1 x2 x3	x1x2x3
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1	0 0 0 0 1 0 0 1

Из таблицы видно, что какой бы класс мы ни взяли, всегда есть функция из данной системы , которая в этот класс не входит. Можно сформулировать следующее правило: для того чтобы система функций была полна, необходимо и достаточно, чтобы в каждом столбце критериальной таблицы был хотя бы один «минус».

Отметим еще одно обстоятельство, касающееся приведенной системы. Какую бы функцию из этой системы мы ни удалили, система станет неполной, действительно, {f₂,f₃,f₄}L, {f₁,f₃,f₄}T₁, {f₁,f₂,f₄}T₀, {f₁,f₂,f₃}M.

2. Мы знаем, что система {x₁|x₂} – полна вР₂. Какова для нее критериальная таблица?x₁|x₂= =x₁x₂1.

	Т0	Т1	L	M	S
x1|x2	-	-	-	-	-

3. Составим критериальную таблицу для другой полной системы функций из р2: {0, 1,x1x2,x1x2}.

	Т0	Т1	L	M	S
0	+	-	+	+	-
1	-	+	+	+	-
x1x2	+	+	-	+	-
x1x2	+	-	+	-	-

Согласно критериальной таблице, полной является и система {1, x₁x₂,x₁x₂}. Константа 0 введена в эту систему для удобства, тогда мы можем записать полином Жегалкина в виде, гдеаравны 0, если членыхх...х, в полиноме отсутствуют.

4. Выясним, полна ли система . Составим критериальную таблицу, очевидно. Чтобы показать, что, достаточно найти одну функциюи. Возьмем, удовлетворяющую требуемым условиям. ЕслиfS\T₀, тоf(0, ..., 0) = 1,f(1, ..., 1)=0, следовательно,fM,fT₁. Рассмотрим функциюh=x₁x₂x₂x₃x₁x₃=1, набор ее значений (11101000),hS\T₀, ноhL. Следовательно, критериальная таблица имеет вид:

	Т0	Т1	L	M	S
LT1	-	+	+	-	-
S\T0	-	-	-	+	-

и А – полная система функций.

Определение. Система функций {f₁, ...,f_s, ...} называется базисом вР₂,если она полна вР₂, но любая ее подсистема не будет полной. Например, система функций {x₁&x₂, 0, 1,x₁x₂x₃} – базис.