27. Пределы функций, их свойства.

Число A называется пределом функции f(x) при x → x0 (или в точке x0), если для любого ε > 0 найдется δ > 0 такое, что для всех x, для которых 0 < |x −x0| < δ, справедливо неравенство |f(x) − A| < ε,   т.е.

Свойства пределов функции

1) Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

2) Предел суммы

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности двух функций равен разности пределов этих функций.

Расширенное свойство предела суммы:

Предел суммы нескольких функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности нескольких функций равен разности пределов этих функций.

3) Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:

4) Предел произведения

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:

Расширенное свойство предела произведения

Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:

5) Предел частного

Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

28. Теоремы о пределах.

Если функция (M) и (M) при М стремятся каждая к конечному пределу, то

1. (M) + (M))= +

2. (M) (M))=

3. = ; 0

Функция f(M) называется непрерывной в точке , если она удовлетворяет следующим трем условиям:

1. Функция f(M) определена в точке

2. Существует предел

3. = f(

Если в точке нарушено хотя бы одно из этих условий, то функция терпит разрыв в этой точке. Функция называется непрерывной в области G, если она непрерывна в каждой точке этой области.

29. Первый замечательный предел.

30. Второй замечательный предел( показательно-степенной предел)

При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел

2< <3

31. Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывных функций.

Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если

Это утверждение равносильно тому, что f(x­-0)=f(x₀)=f(x+0). (1)

Все основные элементарные функции непрерывны в любой точке, в которой они определены. Всякая арифметическая комбинация непрерывных функция непрерывна в одной точке, в которой комбинация определена.

Композиция непрерывных функций непрерывна. Точнее: пусть h(t)=f(g(t)). Если g(t) непрерывна в точке t₀, а f(x) непрерывна в точке x₀=g(t₀), то h(t) непрерывна в t₀. Непрерывность функции f(x) в точке x₀, т.е. выполнение условия (1), означает, что выполнены 4 условия, каждое из которых сильнее предыдущего:

1. f(x₀-0), f(x₀+0) существуют

2. f(x₀-0), f(x₀+0) конечны

3. f(x₀-0)=f(x₀+0)

4. f(x₀-0)=f(x₀+0)=f(x₀)