54. Формула Тейлора для функций нескольких переменных

Если функция имеет в некоторой окрестности точки непрерывные частные производные до (n+1)-го порядка включительно, то для любой точки из этой окрестности справедлива формула Тейлора n-го порядка: , где ,

,где ,

55. Экстремум функции нескольких переменных.

Пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой области D, точка N0(x0;y0)D. Точка N0(x0;y0) называется точкой максимума функции z=f(x,y), если существует δ - окрестность точки N0(x0;y0), что для каждой точки (x,y), отличной от N0(x0;y0), из этой окрестности выполняется неравенство f(x,y)0;y0). Аналогично определяется точка минимума функции, т.е. если выполняется неравенство f(x,y)>f(x0;y0), то N0(x0;y0) - точка минимума. Максимум и минимум функции называют ее экстремумом.

Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если в точке N0(x0;y0) дифференцируемая функция z=f(x,y) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: f'x(x0;y0)=0, f'y=(x0;y0)=0.

Теорема 2 (достаточные условия экстремума). Пусть в стационарной точке N0(x0;y0) и некоторой ее окрестности функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке N0(x0;y0) значения A=f'x'x(x0;y0), B=f'x'y(x0;y0), C=f'y'y(x0;y0)Обозначим . Тогда:

1. Если Δ>0, то функция f(x,y) в точке N0(x0;y0) имеет экстремум: максимум, если A<0: минимум, если A>0.

2. Если Δ<0, то функция f(x,y) в точке N0(x0;y0) экстремума не имеет.

3. В случае Δ=0 экстремум в точке N0(x0;y0) может быть, может не быть. Необходимо дополнительные исследования.

56. Необходимые и достаточные условия существования безусловного экстремума.

Необходимые:

Из леммы Ферма вытекает следующее:

Пусть точка является точкой экстремума функции , определенной в некоторой окрестности точки .

Тогда либо производная не существует, либо .

Достаточные:

• Пусть функция непрерывна в и существуют конечные или бесконечные односторонние производные . Тогда при условии , является точкой строгого локального максимума. А если

то является точкой строгого локального минимума.

Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке

• Пусть функция непрерывна и дважды дифференцируема в точке . Тогда при условии

и , является точкой локального максимума. А если и , то является точкой локального минимума.

57. Максимум и минимум функции нескольких переменных.

Рассмотрим функцию двух переменных n=2,  .

Определение 1. Точка (x₀, y₀)ÎR² называется точкой локального максимума (минимума) функции, если найдется некоторая окрестность данной точки, для всех точек которой выполняется условие   ( ).

Определение 2. Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума.

Теорема 1 (необходимое условие экстремума функции). Если точка (x₀, y₀) является точкой локального экстремума функции, то в этой точке частные производные равны нулю или не существуют.

Доказательство. Пусть (x₀, y₀)ΠR² - точка экстремума функции. Зафиксируем y₀ и рассмотрим функцию одной переменной.

.

Точка х₀ является точкой локального экстремума функции  , следовательно, в этой точке производная   или не существует, тогда частная производная   равна нулю или не существует.

Аналогично доказывается, что   или не существует.

Определение 3. Точки, в которых частные производные равны нулю или не существуют, называются стационарными точками функции многих переменных.

Необходимое условие экстремума не является достаточным, т. е. не каждая критическая точка является точкой экстремума. Например, функция   имеет частные производные

,            .

В точке (0,0) частные производные функции равны нулю, однако в этой точке у функции нет экстремума. Данная точка является седловой точкой графика.

 

 

Теорема 2 (достаточное условие экстремума функции). Пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой окрестности критической точки (x₀, y₀), в которой частные производные равны нулю:

,                ;

в этой точке функция имеет непрерывные частные производные второго порядка

,  ,  .

Тогда если D=AC-B²>0, то в точке (x₀, y₀) функция имеет экстремум, причем если А<0 - максимум, если А>0 - минимум. В случае D=AC-B²<0 функция экстремума не имеет. Если D=AC-B =0 , то вопрос о наличии экстремума остается открытым.