19. Параметрическое и каноническое уравнение прямой

Поставим следующую задачу: Составить уравнения прямой, проходящей через данную точку M(x₀, y₀, z₀) параллельно данному вектору 

(вектор а – направляющий вектор прямой)

• Параметрические уравнения прямой в пространстве:

 (**)

 Векторно-параметрическое уравнение прямой 

     Уравнения параметрическими уравнениями прямой на плоскости в векторной и координатной формах. 

      

• Канонические уравнения прямой в пространстве:

• Каноническое уравнение плоскости в пространстве:

Аx+By+Cz+D=0, где D = -Ax₀-By₀-Cz₀.

• Каноническое уравнение прямой 

20. Уравнение прямой, проходящей через 2 точки

Пусть в пространстве заданы две точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки: (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1).

Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.

21. Уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

Теорема. В уравнении прямой с угловым коэффициентом

Y=kx+b

угловой коэффициент k равен тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс:

k=tgα

Доказательство. 1) Если прямая L║Ox, то α=0 и tgα=0. С другой стороны, ее нормальный вектор ň║Oy и A=0. Тогда k=-A/B=0 и tgα=0

22. Угол между прямыми на плоскости.

Определение. Если заданы две прямые y = k1x + b1, y = k2x + b2, то острый угол между этими прямыми будет определяться как

Две прямые параллельны, если k1 = k2 .

Две прямые перпендикулярны, если k1 = -1/ k2 .

Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А 1 х + В1 у + С1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А1 = λА, В1 = λВ. Если еще и С1 = λС, то прямые совпадают.

Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых.

23. Эллипс. Каноническое уравнение.

Эллипс - линия, уравнение, которое имеет вид в декартовой системе координат (-х²)=х²; (-у²)=у²

с ростом x, y уменьшается; при x=0, y=b; при y=0, x=a; a>b если a>b, то a - большая полуось эллипса, b - меньшая

•  — большая полуось;

•  — малая полуось;

•  — фокальный радиус (полурасстояние между фокусами);

•  — фокальный параметр;

•  — перифокусное расстояние (минимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе);

•  — апофокусное расстояние (максимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе);

.