4. Обратная матрица. Теорема о существ обратной матрицы.

Обратная матрица к исходной матрице А называется матрица А-1, удовлетворяющая условию A*A-1=A-1*A=E. Обратную матрицу  можно найти по следующей формуле: =(1/det) *A^T Для квадратных матриц.

Метод нахождения обратной матрицы: 1) Находим определитель матрицы В том случае, если определитель матрицы равен НУЛЮ – обратной матрицы НЕ СУЩЕСТВУЕТ.2) Находим матрицу миноров 3) Находим матрицу алгебраических дополнений 4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений 5) Ответ Как проверить решение? Необходимо выполнить матричное умножение  либо Должна получиться единичная матрица

Теорема. Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную матрицу, необходимо и достаточно (<=>), чтобы матрица А была невыражденной — detA<>0; необходимые условия. Дано: А, А^-1; Док-ть: detA0; Док-во: Предположим detA=0; AA^-1=E; |AA^{- 1}| = |A| |A^-1| = |E| = 1; |AA^{- 1}| =0; Противоречие, значит |A|0; 2. достаточные условия: Дано A, detA0; Док-ть: A^-1-?; Док-во: AA^-1=E -?; A(a₁₁, a₁₂…a₃₂, A₃₃); Заменим каждый элемент алгебраическим дополнением. В = (A₁₁, A₁₂…A₃₂, A₃₃)*1/|A|; Транспонируем и разделим все элементы на Δ: B^T= (A₁₁/Δ, A₂₁/Δ…A₂₃/Δ, A₃₃/Δ); B^T=A^-1-?; B^TA=E -? (a₁₁ a₁₂…a₃₂ a₃₃)*(A₁₁A₁₂…A₃₂ A₃₃)=(a₁₁A₁₁+a₁₂A₁₂+a₁₃A₁₃/Δ)=(1 0..0 1)=E; a₂₁A₁₁+a₂₂A₁₂+a₂₃A₁₃ = 0; a₁₁A₁₁+a₁₂A₁₂+a₁₃A₁₃=Δ;

5. Элементарные преобразования матрицы.

Элементарные преобразования матрицы — это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц. Таким образом, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования:

1) умножение строки матрицы на число, отличное от нуля;

2) прибавление к одной строке матрицы другой строки;

3) перестановка строк;

4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);

5) транспонирование матрицы (замена строк матрицы ее столбцами);

Те же операции, применяемые для столбцов матрицы, также называются элементарными преобразованиями. С помощью элементарных преобразований можно к какой-либо строке или столбцу матрицы прибавить линейную комбинацию остальных строк (столбцов). Элементарные преобразования обратимы. Обозначение указывает на то, что матрица может быть получена из путём элементарных преобразований (или наоборот).

6. Ранг матрицы. Правило вычисления ранга матрицы.

Определителем k-го порядка, k≤min(m,n), порожденным матрицей A_m*n называется определитель, составленный из элементов матрицы, наход. на пересечении k стро и k столбцов матрицы.

Рангом матрицы A_m*n называется натуральное число r равное наибольшему из порядков, отличных от нуля определителей, порожденных матрицей.

Если все определители, порожденные матрицей, равны нулю, то ранг такой матрицы будет равен нулю.

Свойства ранга матрицы:

• A_m*n , ранг матрицы 0≤r≤min (m;n)

• r=0 , если матрица нулевая

• ранг матрицы, полученные из данной вычеркиванием какого-либо столбца или строки, равен рангу данной матрицы или меньше его на 1

• ранг транспонированной матрицы равен рангу исходной

Правило вычисления ранга матрицы:

находим определители 1-го порядка, если хотя бы один из них не равен 0, то вычисляем определитель 2-го порядка. Если все определители 2-го порядка равны 0, то ранг матрицы равен 1. Если один из определителей 2-го порядка не равен 0, то вычисляем определитель 3-го порядка и т.д.