.Векторное произведение векторов. Его св-ва.
Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор c, который:
1)
2)
3) векторы a,b,c образуют правую тройку:
С
А
Св-ва векторного произведения:
1.При
перестановке сомножителей вект.
произведение меняет знак, т.е
2.Вект.пр-ие
обладает сочетательным св-ом относительно
скал.множителя, т.е
3.Два
ненулевых вектора а и b
коллинеарны тогда и только тогда, когда
их векторное произведение равно нулевому
вектору, т.е
4.Векторное
произведение обладает распределит.
Св-ом:
Смешанное произведения векторов
Смешанным произведением векторов назвается число, обозначаемое () и равное скалярному произведению вектора на вектор , т.е () = ().
Смешанное
произведение трёх векторов – выражение
вида
Если
векторы заданы своими координатами, то
Основные свойства смешанного произведения:
При перестановке сомножителей смешанное произведение меняет знак
Если два из трёх векторов равны и параллельны, то их смешанное произведение равно нулю.
Условие компланарности – равенство смешанного произведения 3-ёх векторов нулю (
)
= 0
компланарны( ) > 0 тройка векторов – правая
Смешанное произведение трёх векторов численно равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах
Объём
пирамиды построенной на векторах
равен
Общее уравнение плоскости
В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени и каждое уравнение первой степени определяет плоскость.
Всякий (не равный нулю) вектор, перпендикулярный к данной плоскости, называется ее нормальным вектором. Уравнение
(1)
определяет
плоскость, проходящую через точку
и имеющей нормальный вектор
.
Раскрывая
в уравнении (1) скобки и обозначая число
буквой D, представим его в виде
.
Это уравнение называется общим уравнением плоскости. Возможны следующие частные случаи:
А = 0 – плоскость параллельна оси Ох
В = 0 – плоскость параллельна оси Оу
С = 0 – плоскость параллельна оси Оz
D = 0 – плоскость проходит через начало координат
А = В = 0 – плоскость параллельна плоскости хОу
А = С = 0 – плоскость параллельна плоскости хОz
В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz
А = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох
В = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу
С = D = 0 – плоскость проходит через ось Oz
А = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью хОу
А = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью xOz
В = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью yOz
Уравн плоскости проходящей через три точки в отрезках
Любую плоскость можно задать уравнением плоскости первой степени вида
A x + B y + C z + D = 0 где A, B и C не могут быть одновременно равны нулю.
Уравнение плоскости в отрезках
Если плоскость
пересекает оси OX, OY и OZ в точках с
координатами (a, 0, 0), (0, b, 0) и (0, 0, с), то
она может быть найдена, используя
формулу уравнения плоскости в отрезках
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой
Чтобы составить уравнение плоскости, зная координаты точки плоскости M(x0, y0, z0) и вектора нормали плоскости n = {A; B; C} можно использовать следующую формулу.
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой
Если заданы координаты трех точек A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) и C(x3, y3, z3), лежащих на плоскости, то уравнение плоскости можно найти по следующей формуле
=0