Логарифмическое дифференцирование

Пусть все значения функции   положительны. Тогда  . Поэтому из дифференцируемости   следует дифференцируемость  . При этом

Отсюда  . Зная производную натурального логарифма  , легко найти  .

37. Дифференцирование обратных функций и функций заданных параметрически

38. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала.

Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции. Обозначается dy или df(x). Из определения следует, что dy = f¢(x)Dx или dy = f¢(x)dx. Можно также записать: f’(x)=dy/dx.

Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции y = f(x) равен приращению ординаты касательной, проведённой к графику этой функции в точке (x; y), при изменении xна величину .

39. Формула Тейлора.

1) Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее окрестности производные порядка до (n+1) включительно.{ Т.е. и все предыдущие до порядка n функции и их производные непрерывны и дифференцируемы в этой окрестности}.

2) Пусть х – любое значение из этой окрестности.

Тогда между точками х и а найдется такая точка e, что справедлива формула:

Это выражение – и есть формула Тейлора. Используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

40. Возрастание и убывание функций. Точки экстремума.

Функция y = f(x) возрастает на интервале X, если для любых   и   выполняется неравенство  . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция y = f(x) убывает на интервале X, если для любых   и   выполняется неравенство  . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Достаточные признаки возрастания и убывания функции.

На основании достаточных признаков находятся промежутки возрастания и убывания функции. Вот формулировки признаков:

• если производная функции y = f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X;

• если производная функции y = f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

• найти область определения функции;

• найти производную функции;

• решить неравенства   и   на области определения;

• к полученным промежуткам добавить граничные точки, в которых функция определена и непрерывна.

Точку   называют точкой максимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство  . Значение функции в точке максимума называют максимумом функции и обозначают  . Точку   называют точкой минимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство  . Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают  . Под окрестностью точки   понимают интервал  , где   - достаточно малое положительное число.  Точки минимума и максимума называют точками экстремума, а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции.