46. Функции нескольких переменных (Определение, примеры).

47. Пределы функции нескольких переменных и их свойства

Число А называется пределом функции f(M) при М , если для любого числа > 0 всегда найдется такое число >0 ,что для любых точек М, отличных от и удовлетворяющих условию < , будет иметь место неравенство < .

Предел обозначают . В случае двух переменных

48. Частное и полное приращение функций нескольких переменных.

Частные приращения и частные производные.

Пусть в некоторой области задана функция z = f (x, y). Возьмем

произвольную точку M (x, y) и зададим приращение х к переменной х,

оставляя значение переменной y неизменным. Тогда величина

_x z=f (x + x, y) - f (x, y) называется частным приращением функции по х.

Если существует предел , то он называется частной

Производной функции z=f (x, y) по переменной х и обозначается одним из

следующих символов: ; z’_x; ; f’_x(x,y).

Аналогично определяется частная производная функции по у, то есть _y z=f (x,y + y) - f (x, y) – частное приращение функции по y. А предел называется частной производной функции z=f (x, y) по переменной

Y и обозначается одним из следующих символов: ; z’_y; ; f’_y(x,y).

Полное приращение и полный дифференциал.

Для функции z=f (x, y) выражение z=f (x+x, y+y) - f (x, y)

называется полным приращением.

Функция z=f (M ) называется дифференцируемой в точке М, если ее

полное приращение в этой точке может быть представлено в виде z= x+ y+α₁x+α₂y, где α₁ и α₂– бесконечно малые функции при х0 и у0 соответственно.

Полным дифференциалом функции z=f (x, y) называется главная часть

полного приращения функции z, линейная относительно х и у, то есть

dz= f’x(x, y)dx + f’y(x, y)dy или dz= dx+ dy

Для функции трех переменных u=f (x, y, z) полный дифференциал

находится по формуле: du= dx+ dy+ dz.

49. Непрерывность функции нескольких переменных их св-ва

Пусть функция n переменных u = f(x) = f(x₁, x₂,  … , x_n) определена в некоторой окрестности точки a = (a₁, a₂,  … , a_n)  Rⁿ (включая саму точку a).

Определение 1. Функция u = f(x) называется непрерывной в точке a, если

lim x → a  f(x) = f(a).

Обозначим приращения аргументов символами Δx₁ = x₁ − a₁, Δx₂ = x₂ − a₂,  …, Δx_n = x_n − a_n. Соответствующее приращение функции u=f(x)

Δu = f(a1 + Δx1, a2 + Δx2,   … ,  an + Δxn) − f(a1,  a2,  … ,  an).

называется полным приращением функции u=f(x) в точке a, соответствующим прирашению Δx = {Δx₁, Δx₂,  …, Δx_n}.

Условие, определяющее непрерывную функцию u = f(x) в точке a эквивалентно условию

lim Δx → 0  Δu = 0.

Приращение

δxku = f(a1,  … , ak + Δxk,  … , an) − f(a1, a2,  … , an)

называется частным приращением функции u в точке a, соответствующим приращению Δx_k аргумента x_k.

Определение 2. Функция u = f(x) = f(x₁, x₂,  … , x_n) называется непрерывной в точке a = (a₁, a₂,  … , a_n) по переменной x_k , если

lim Δxk → 0  δxku = 0.

Теорема 1. Если функция u = f(x) = f(x₁, x₂,  … , x_n) непрерывна в точке a, то она непрерывна в этой точке по каждой переменной x₁, x₂,  … , x_n .

Обратное утверждение неверно.

Теорема 2. Пусть функции f(x) и g(x) , определены в области D  Rⁿ и непрерывны в точке a = (a₁, a₂,  … , a_n)  D .

Тогда функции f(x) + g(x) , f(x) · g(x) и f(x)/g(x) (при g(a) ≠ 0) непрерывны в точке a

Доказательство получается из определения непрерывности функции в точке и теоремы о пределах суммы, произведения и частного двух функций.

Теорема 3. Всякая элементарная функция нескольких переменных непрерывна на множестве, на котором она определена.

Теоремы о свойствах функции одной переменной, непрерывной на отрезке, справедливы для функции нескольких переменных, непрерывной на замкнутом ограниченном множестве (компакте):

Теорема 4. Функция, непрерывная на замкнутом ограниченном множестве, ограничена на этом множестве.

Теорема 5 (Вейерштрасс). Функция, непрерывная на замкнутом ограниченном множестве, достигает на этом множестве своего наибольшего и наименьшего значений.